テイラー級数

「テイラー展開すると…」なんて言葉が教科書によく出てきます． これはテイラー級数で表す，という意味で使われています． その頻出するテイラー級数を，簡単に紹介します．

テイラー級数

つぎの無限級数

f(x) &= f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots\\ &= f(a)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n

を関数 f(x) の x=a におけるテイラー級数といいます．

マクローリン級数

主に有限の n で展開を止めて近似式として用います． たいていは1次か2次程度で近似します．テイラー級数で a=0 のもの，すなわち

f(x) &= f(0)+\frac{f'(0)}{1!}x+\frac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots\\ &= f(0)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n

をマクローリン級数といいます．でも単にテイラー級数と言った場合も， このマクローリン級数を指すことが多いようです．

例

例として， \sin(x) の x=0 でのテイラー級数（マクローリン級数）を見てみます． 素直に公式に当てはめると

\sin(x) = \sin(0)+\frac{\sin'(0)}{1!}x+\frac{\sin''(0)}{2!}x^2 +\frac{\sin'''(0)}{3!}x^3+\frac{\sin''''(0)}{4!}x^4+\cdots

ここで

\sin(0) &= 0\\\sin'(0) &= \cos(0)=1\\\sin''(0) &= \cos'(0)=-\sin(0)=0\\\sin'''(0) &= \cos''(0)=-\sin'(0)=-\cos(0)=-1\\\sin''''(0) &= \cos'''(0)=-\sin''(0)=-\cos'(0)=\sin(0)=0

ですから，

\sin(x) &= 0+\frac{1}{1!}x+\frac{0}{2!}x^2+\frac{-1}{3!}x^3+\frac{0}{4!}x^4+\cdots\\ &= x-\frac{x^3}{3!}+\cdots

となります． \sin^n(0) の微分を繰り返すと分かるように， この先もずうっと偶数番目の項は消え， 奇数番目の項がプラスマイナスを繰り返しながら残るので，結局

\sin(x) &= x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots\\ &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^{2n-1}}{(2n-1)!}

となります．この右辺のように数列の無限個の和で表されるものを「べき級数」と呼びます． この例で \sin x をべき級数に変形したように， ある関数をべき級数で表すことを「べき級数展開」と呼びます．

もう一つ

また，物理では

f(x+dx) &= f(x)+\frac{f'(x)}{1!}dx+\frac{f''(x)}{2!}(dx)^2+\cdots\\ &= f(x)+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x)}{n!}(dx)^n

というテイラー級数も良く使われます．