正方行列の基本性質

行と列が一致している行列 ( $n \times n$ 行列) のことを正方行列と呼びます．正方行列は

という特徴を持っています（ただし，これらが定義できない特別な場合もあります）．

単位行列

左上から右下への対角線が全て 1 で，他の成分が全て 0 の正方行列を単位行列といいます．単位行列は普通，という記号で表します．例えば $2 \times 2$ 正方行列の単位行列は

$\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

で， $3 \times 3$ 正方行列の単位行列は

$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

となります．

また，どんな $n \times n$ 正方行列に $n \times n$ 単位行列を掛けても変化しません．つまり，正方行列をとすると

がいえます．この性質は数字の 1 と同じです．どんな数に 1 を掛けても，変化しませんよね．

行列の逆数に相当するのが逆行列です．正方行列の逆行列をとすると

が満たされます．ここではさきほどの単位行列です．普通の数字で例えるなら

$7 \times 7^{-1} = 1$

ということと同じようなものです．

$2 \times 2$ 正方行列

$A=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}$

の逆行列は以下の公式から求められます．

$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$

このようにの逆行列は $A^{-1}$ と書きます．読み方は「えーいんばーす」が一般的です．