1/x周辺の積分（log x の近傍で）

さて， $\int_1^x dx/x$ はなんでしょう？そうです， $\log x$ ですね．今回は，αを-1に近づけたときの $\int_1^x x^{\alpha} dx$ の挙動を調べてみます．

動機

べき関数の積分に於いて，

$\int_1^x x^{\alpha} dx\begin{cases}\dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \ \ \ \ \ (\alpha \neq -1) \\\log x \ \ \ \ \ (\alpha = -1) \\\end{cases}$

ですが， $\alpha = -1$ の時だけ別種の関数に見えています．では， $\alpha$ をとは異なる，しかし，ごく近い実数にしたら， $\log$ に収束するのか，調べました．

$\lim_{\alpha \to -1} \int_1^x x^{\alpha} dx &=\lim_{\alpha \to -1} \dfrac{x^{\alpha+1}-1}{\alpha+1} \\&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{x^{\beta}-1}{\beta} \\&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{x^{\beta}-x^0}{\beta-0} \\&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{d}{d \beta} x^{\beta} \\&=\lim_{\beta \to 0} \dfrac{d}{d \beta} e^{\beta \log x} \\&=\lim_{\beta \to 0} \log x e^{\beta \log x} \\&=\lim_{\beta \to 0} x^{\beta} \log x \\&= \log x \ \ (= \log_e x)$

この様に確かに， $\log x$ に収束しました．実は幾何学的な解釈をすれば，積分は曲線の下の面積なので，曲線が連続的に移り変わるなら，おかしなことは起こるはずがなかったのです．