無限等比級数の和

初項 a_1 ，公比 r の等比数列 a_n において， -1<r<1 のとき

\sum^\infty_{n=1}a_n=\frac{a_1}{1-r}

という公式が成り立ちます．等比数列をずっとずっと足しあわせていったら， 上の式の右辺になるというのです． 無限に足しあわせたのに一定の値になる（収束する）というのはちょっとフシギな感じがします．

導きかた

この公式を導くのは簡単です．等比数列の和の公式

a_n = a_1 r^{n-1} \tag{1}
S_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} \qquad (r\ne1) \tag{2}
S_n = a_1n \qquad (r=1) \tag{3}

を思い出します．式(2)において， -1<r<1 のときは

\lim_{n\to \infty}r^n=0

が言いえます．たとえば r=0.5 の場合， 0.5 \times 0.5 = 0.25, 0.25 \times 0.5 = 0.125, \dots と， 掛け続けるといつかはゼロになりそうです． 上の式は，絶対値が 1 より小さい数を永遠に掛け続けて行くと， いつかゼロになるということです．そうすると式(2)は

\lim_{n\to \infty}S_n &=\lim_{n\to \infty}\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}\\ &= \frac{-a_1}{r-1}\\ &= \frac{a_1}{1-r}

となります．無限等比級数の和が収束するのは， 足しあわせる数の値がだんだん小さくなって，いつかはゼロになるからです． もちろん， -1<r<1 のとき，という条件つきですが．

例

数列

1+e+e^2+e^3+\cdots

は初項 1，公比 e の等比級数です．もしも -1<e<1 ならば

1+e+e^2+e^3+\cdots=\frac{1}{1-e}

と有限の値に収束します．この逆の，

\frac{1}{1-e}=1+e+e^2+e^3+\cdots

という関係も覚えておくと便利なことがあります．