さりげなく多用されているオイラーの公式は,複素数と実数の橋渡しとしてかなり重要です. オイラーの公式はつぎの形をしています.
ここで, は虚数単位, は定数, は変数です. この公式は知らないととても困る上に恥ずかしいので,憶えておかなければなりません.
をべき級数展開するとつぎのようになります.
とりあえず はこういうふうに展開できるのだと思っておいてください. 虚数単位 が入っているので, で括っています. でくくった方が虚数部分,もう一方が実数部分です.
式(2) と 式(1) のオイラーの公式を比べて見ると,実数部分が で, 虚数部分が なんでしょ,という気持ちになってきます. その通りで のべき級数はそれぞれつぎのようになります.
式(3) と 式(4) を 式(2) に代入すると,オイラーの公式
が得られます.なんだかだまされたような感じですが,とりあえずオイラーの公式は導けました.
「 の肩に虚数単位 が乗っていたら, と で表現できる」 ということを肝に命じておきましょう. に負号がついて になったときは, で表したときの の符号が変わるだけです.
また,上の2つの式を足し合わせると普通の を を使って表すことができます.
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この関係も活躍するので憶えておくといいですね.