オイラーの公式

さりげなく多用されているオイラーの公式は，複素数と実数の橋渡しとしてかなり重要です． オイラーの公式はつぎの形をしています．

e^{iax}=\cos(ax)+i\sin(ax) \tag{1}

ここで， i は虚数単位， a は定数， x は変数です． この公式は知らないととても困る上に恥ずかしいので，憶えておかなければなりません．

導いてみる

e^{iax} をべき級数展開するとつぎのようになります．

e^{iax} &= 1+\frac{i(ax)}{1!}-\frac{(ax)^2}{2!}-\frac{i(ax)^3}{3!} +\frac{(ax)^4}{4!}+\frac{i(ax)^5}{5!}-\frac{(ax)^6}{6!}-\frac{i(ax)^7}{7!}+\cdots\\ &= \left(1-\frac{(ax)^2}{2!}+ \frac{(ax)^4}{4!}-\frac{(ax)^6}{6!}+\dots\right) +i\left(\frac{(ax)}{1!}-\frac{(ax)^3}{3!}+\frac{(ax)^5}{5!}-\frac{(ax)^7}{7!}+\cdots\right) \tag{2}

とりあえず e^{iax} はこういうふうに展開できるのだと思っておいてください． 虚数単位 i が入っているので， i で括っています． i でくくった方が虚数部分，もう一方が実数部分です．

式(2) と 式(1) のオイラーの公式を比べて見ると，実数部分が \cos(ax) で， 虚数部分が \sin(ax) なんでしょ，という気持ちになってきます． その通りで \cos(ax)\, , \sin(ax) のべき級数はそれぞれつぎのようになります．

\cos(ax) = 1-\frac{ax^2}{2!}+\frac{ax^4}{4!}-\frac{ax^6}{6!}+\dots \tag{3}
\sin(ax) = \frac{ax}{1!}-\frac{ax^3}{3!}+\frac{ax^5}{5!}-\frac{ax^7}{7!}+\dots \tag{4}

式(3) と 式(4) を 式(2) に代入すると，オイラーの公式

e^{iax} = \cos(ax)+i\sin(ax)

が得られます．なんだかだまされたような感じですが，とりあえずオイラーの公式は導けました．

使いみち

「 e の肩に虚数単位 i が乗っていたら， \sin と \cos で表現できる」 ということを肝に命じておきましょう． i に負号がついて -i になったときは， sin\, , \cos で表したときの i の符号が変わるだけです．

e^{iax} &= \cos(ax)+i\sin(ax)\\e^{-iax} &= \cos(ax)-i\sin(ax)

また，上の2つの式を足し合わせると普通の \sin\, , \cos を e を使って表すことができます．

e^{iax}+e^{-iax}=2\cos(ax) より \cos(ax)=\frac{e^{iax}+e^{-iax}}{2}

e^{iax}-e^{-iax}=2i\sin(ax) より \sin(ax)=\frac{e^{iax}-e^{-iax}}{2i}

この関係も活躍するので憶えておくといいですね．