境界条件から波動関数を求める

式 (7.17) の $A,B$ は境界条件，規格化条件から決まる定数である． まずは境界条件から考えよう． ポテンシャル $V(x)$ は式 (7.8.1) で定められていた． $V(x)$ は $x$ が $-L,L$ の場所から無限大になる． ここで重要なのは $x=-L$ および $x=L$ の場所でポテンシャルが無限， つまり粒子が存在できないということ． $x>-L,~ L<x$ の場合に $f(x)=0$ となるのは ポテンシャル $V(x)$ の値で場合分けしたときすでに考えた． しかしシュレディンガー方程式の解である波動関数は連続でなければならないから， ちょうど境界にあたる $x=-L,~ x=L$ の部分では 式(7.12)もこの条件を満たさなければならない．

$x=-L,~ x=L$ で粒子は存在できないのだから， この範囲の $x$ で式(7.17)の $f(x)$ はゼロになる．したがって

$$f(-L) = A\cos (-kL) + B \sin (-kL) = 0$$ (7.18)

$$f(L) = A\cos (kL) + B \sin (kL) = 0$$ (7.19)

$\cos(-x)=\cos(x),~\sin(-x)=-\sin(x)$ という関係を使うと，

$$A\cos (kL) - B \sin (kL) = 0$$ (7.20)

$$A\cos (kL) + B \sin (kL) = 0$$ (7.21)

この式から $A,B$ の値を決めることができる． まず $A=B=0$ という場合が考えられるが， この場合は無意味なので考えない．

• $A=0$ の場合
  式 (7.20), (7.21) の辺々を引くと $2B\sin(kL)=0$ ， $A$ と $B$ は両方ともゼロにはならないので，

  $$\sin(kL) = 0$$

  
  
  したがって

  $$kL = n\frac{\pi}{2}\, , \qquad (n=2,4,6,\cdots)$$

  
  

• $B=0$ の場合
  式 (7.20), (7.21) の辺々を足すと $2A\cos(kL)=0$ ， $A$ と $B$ は両方ともゼロにはならないので，

  $$\cos(kL) = 0$$

  
  
  したがって

  $$kL = n\frac{\pi}{2}\, , \qquad (n=1,3,5,\cdots)$$

  
  

両方の場合をまとめると

$$k = n\frac{\pi}{2L}\, , \qquad (n=1,2,3,\cdots)$$

となる．$k$ はこのように許される値が決まってしまった． $\pi/2L$ の $n$ 倍になっている．飛び飛びなわけだ． この飛び飛びの状態を量子化 されているといい， $n$ を量子数 と呼ぶ．