ラグランジュアン

ニュートンの方程式は $$\bm{F}=\frac{d^2 \bm{x}}{dt^2}$$ であるが， 左辺の力は（保存力であれば）ポテンシャルエネルギー $U$ で表して $$\bm{F}=-\nabla U$$ とも書ける． また，右辺の $$m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}$$ は運動量 $\bm{p}$ を使って $$m\frac{d^2\bm{x}}{dt^2}=\frac{d}{dt}\left(m\frac{d\bm{x}}{dt}\right)=\frac{d\bm{p}}{dt}$$ と書ける． 以上より，ニュートンの運動方程式は

$$-\nabla U = \frac{d\bm{p}}{dt}$$

と表せる．これをベクトルの成分で表すと

$$-\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{dp_x}{dt}, \quad -\frac{\par... ...artial y}=\frac{dp_y}{dt}, \quad -\frac{\partial U}{\partial z}=\frac{dp_z}{dt}$$

である．ここで添字を $x,y,z$ とは書かずに $i=1,2,3$ で書くことにすると

$$-\frac{\partial U}{\partial x_i}=\frac{dp_i}{dt}$$

となる．右辺はエネルギーを使って表せているので右辺もエネルギーで表すことを考える． 運動エネルギー $$K=\frac{1}{2}m\bm{v}^2=\frac{1}{2}m(v_1^2+v_2^2+v_3^2)$$ を $v_i$ で偏微分すると

$$\frac{\partial K}{\partial v_i} = mv_i = p_i$$

であるから，これを式(1.9)に代入すると $$-\frac{\partial U}{\partial x_i} = \frac{d}{dt}\frac{\partial K}{\partial v_i}$$ すなわち

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial K}{\partial v_i} - \left(-\frac{\partial U}{\partial x_i}\right) = 0$$ (1.18)

となる．ここで

$$L=K-U$$ (1.19)

なる量を導入する．これをラグランジュアンという． すると式(1.18)はもっと簡単な表現

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial v_i} -\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0$$ (1.20)

で書ける．式(1.20)はオイラー・ラグランジュの方程式または単に ラグランジュ方程式と呼ばれる．