接線

曲線上の近接した2点 $\mathrm{P},\mathrm{P}'$ をとり， $\mathrm{P}'$ を限りなく $\mathrm{P}$ に近づけるとき， $\mathrm{PP}'$ を延長した直線は曲線に接した直線になる．これを接線という． また P において接線と直交する直線を法線という． 曲線上の2点 $\mathrm{P},\mathrm{P}'$ の位置ベクトルを $\bm{r},\bm{r}'$ とすると， ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{PP}'}$ は $d\bm{r}=\bm{r}'-\bm{r}$ で表される． 曲線上のある点から運動の向きに測った弧の長さを $s$ とすると， 点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトルは $s$ の関数として $\bm{r}=\bm{r}(s)$ で与えられる．そうすると

$$\frac{d\bm{r}(s)}{ds}=\lim_{\varDelta s \to 0}\frac{\bm{r}(s+\varDelta s)-\bm{r}(s)}{\varDelta s}$$ (7.20)

は点 $\mathrm{P}$ における曲線の接線ベクトルである． また， $\varDelta s \to 0$ の極限では弧の長さ $\varDelta s$ と ベクトル $\overrightarrow{\mathrm{PP}'}$ の長さは等しくなる

$$\lim_{\varDelta s \to 0}\frac{\vert\varDelta\bm{r}\vert}{\vert\varDelta s\vert} = 1．$$ (7.21)

したがって，

$$\bm{t}(s) = \frac{d\bm{r}(s)}{ds}$$ (7.22)

は単位接線ベクトルである．