尖端放電（改）

どうも，間違いを修正してみました．これなら，つじつまが合いそうです．

電荷が作る電場は，尖ったものの先端において，大きくなり 電子を放出しやすくなります．どんな電界が生じるのかを 書くことにします．

簡単のため，下図の様な二次元極座標 (r,\theta) で考えます． クサビ型の金属で奥行きを z 方向としてもらって構いません． 金属表面は等電位面であります．しかし，表面電荷はそんざいします．

chromel-sentan-01-t.png

真空におけるラプラス方程式は，

\vartriangle V(r,\theta) = \left( \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}( r \frac{\partial}{\partial r})+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right) V(r,\theta) = 0 \tag{1}

ここで，変数分離法を用い， r 方向と \theta 方向の常微分方程式に還元してやります． つまり， V(r,\theta)=R(r)\Theta(\theta) と仮定して，式 (1) に代入するのです． すると，

r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r}) \times \Theta + \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} \times R=0 \tag{2}

両辺 R\Theta で割って，移項すれば，

r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})/R = - \frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2}/\Theta \tag{3}

これは，左辺が r のみの関数，右辺が \theta のみの関数なので， r の式ではなく， \theta の式でもなく， これは実定数 (k>0) の二乗 k^2 [*] に等しいことが分かります．

[*]k^2 が負だと r 方向の方程式が，虚数の解をもつことになるので，物理的に意味のない方程式になります．

よって，この式は，

\frac{\partial^2 \Theta}{\partial \theta^2} = - k^2 \Theta \tag{4}
r \frac{\partial}{\partial r}(r \frac{\partial R}{\partial r})= r \frac{\partial}{\partial r}+r^2 \frac{\partial^2}{\partial r^2} = k^2 R \tag{5}

式 (4) は，単振動でお馴染みの式ですね．これをとくと，

\Theta = A \sin (k \theta + \phi) \tag{6}

境界条件 \theta=0 , 2\pi-\alpha の時， k \times 0 + \phi= 0 , k(2\pi-\alpha)+ \phi = \pi とします．つまり， \phi=0 , k=\dfrac{\pi}{2\pi-\alpha} となります．

これで， \theta 方向は解けました．次は動径方向です． R=r^d と仮定すると，式 (5) より，

r \times d r^{d-1}+r^2 \times d(d-1) r^{d-2} &= d^2 r^{d} \\&= k^2 r^d \tag{7}

よって， d^2=k^2 が得られます．正負の符号の内， 信じられないかもしれませんが，無限遠で発散する d=k>0 が求める解であります． これは，原点近傍のみで有効であります． この正の解を取る理由としては，例えば， \alpha=\pi の時を考えてください． xy平面の下半分が金属という状態です．この時， k=\dfrac{\pi}{2 \pi - \pi }=1 となり， 本来，平面状の一様な面電荷が作る電場は，面に垂直で距離を変えても一定の大きさとなりますよね． つまり，例えばポテンシャルとしては， V(x,y,z)=Ay のような形をしています． よって，ここで V(r, \theta ) = A r \sin \theta = Ay となります． これは， d=k=1>0 とすれば，見事に，

V(r, \theta ) &= R(r) \Theta ( \theta ) \\&=A r \sin k \theta \\&=A r \sin \theta \\&=A y

となる訳です．ここで， \alpha=\pi だった， クサビの尖り具合をしめす \alpha は，連続的変化で \alpha \to 0 となれますから， 結局， \alpha \to 0 とした時，

V(r,\theta) &= A r^{ \pi/2\pi - \alpha } \sin \dfrac{\pi \theta}{2\pi-\alpha} \\&\to A r^{1/2} \sin \dfrac{\theta}{2}

となり，原点近傍において \theta= \pi の方向に， r^{-1/2} の大きさの，電場の発散が起きることが分かります． これが，尖ったものが静電気を放電しやすい原理です．

それでは，今日はここまで．