ローレンツ力は電流の作る磁場と静磁場との相互作用であること

今回は，長さ \ell の直線電流が静磁場中 \bm{B}=(0,B_0,0) で受ける力，つまりローレンツ力 \bm{F}=(-B_0 I \ell , 0 , 0) は，自身が作る磁場と静磁場との相互作用によるものであることを示します．

こうあるべき結果

下から上に静磁場 B_0 があり，奥から手前に \ell の長さに渡って電流 I が流れている時，

右へに x 軸，上に y 軸があり，手前に z 軸がある右手系で考えます．

高校で習ったローレンツ力の式（の応用）は，

\bm{F} = (- B_0 I \ell , 0 , 0 ) \tag{1}

でした．それを磁場由来の力で説明できることを以下で示します．

磁場の作る作用

それには，マクスウェルの応力テンソルと言うものを使います．それは，真空中では，

T_e = \varepsilon_0\begin{pmatrix}E_x^2-\bm{E}^2/2 & E_xE_y & E_x E_z \\E_y E_x & E_y^2-\bm{E}^2/2 & E_y E_z \\E_z E_x & E_z E_y & E_z^2 -\bm{E}^2/2\end{pmatrix} \tag{2} T_m = \dfrac{1}{\mu_0}\begin{pmatrix}B_x^2-\bm{B}^2/2 & B_xB_y & B_x B_z \\B_y B_x & B_y^2-\bm{B}^2/2 & B_y B_z \\B_z B_x & B_z B_y & B_z^2 -\bm{B}^2/2\end{pmatrix} \tag{3}

と表されるもので，ある閉曲面に作用する力 \bm{F} は

\bm{F} = \int (T_e + T_m) \cdot \bm{n} dS \tag{4}

という計算により，力が求まります．今回は電場は存在しないので， T_m のみ考えます．

まず， xy 平面で考えて，最後に z 軸方向の積分をします．それは平面の結果を奥行き \ell 倍すればよいはずです．電流が作る磁場 B は太さ r の導線を中心にしたアンペールの法則より，

B 2 \pi r = \mu_0 I \\B= \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \tag{5}

となり，平面座標 xy で考えると， :math:` x= r cos theta , y= r sin theta ` として，

\bm{B} &= \left( \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times - \sin \theta ,\dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \times \cos \theta \right) \\ &= \left( \dfrac{-\mu_0 I y}{2 \pi r^2},\dfrac{\mu_0 I x}{2 \pi r^2} \right) \tag{6}

ですから，

静磁場を考慮したトータルの磁場 \bm{B}_t は，

\bm{B}_t &= \left( \dfrac{-\mu_0 I y}{2 \pi r^2},B_0 + \dfrac{\mu_0 I x}{2 \pi r^2} \right) \tag{7}

です．また，式(4)において，導線表面の閉曲面を考えて，

\bm{n} dS &= (\cos \theta , \sin \theta) r d \theta \\&= (x,y) d \theta \tag{8}

です． r d \theta の r は円筒座標のヤコビアンです．

さて，式(4)を考えるのですが F_x に注目します．一気に書いてしまいましょう！！

F_x &= \dfrac{1}{\mu_0} \int T_{mxx} x + T_{mxy} y d \theta \\&= \dfrac{1}{\mu_0} \int_{0}^{2\pi} \left( \dfrac{B_x^2}{2} - \dfrac{B_y^2}{2} \right) x + B_x B_y y d \theta \\&= \int_0^{2\pi} \left( \dfrac{\mu_0 I^2 y^2}{8 \pi^2 r^4} \right) - \dfrac{1}{2}\left( \dfrac{B_0^2}{\mu_0} + \dfrac{B_0 I x}{\pi r^2} + \dfrac{\mu_0 I^2 x^2}{4 \pi^2 r^4} \right) x d \theta \\&- \int_0^{2\pi} \left( \dfrac{B_0 I y}{2 \pi r^2} + \dfrac{\mu_0 I xy}{4 \pi^2 r^4} \right) y d \theta \\&= - \int_0^{2\pi}\dfrac{\mu_0 I^2 (x^2+y^2)x}{8 \pi^2 r^4} + \dfrac{B_0 x}{2 \mu_0} + \dfrac{B_0 I (x^2+y^2)}{2 \pi r^2} d \theta \tag{9}

最後の結果の第一項と第二項はゼロになります．注目すべきは第三項です． x^2+y^2=r^2 ですから，簡単な計算で，

F_x &= -0 -0 - \int_0^{2\pi} \dfrac{B_0 I (x^2+y^2)}{2 \pi r^2} d \theta \\&= - \int_0^{2\pi} \dfrac{B_0 I}{2 \pi} d \theta \\&= - B_0 I\tag{10}

となります．これを奥行き \int_0^{\ell} dz の積分を行えば， \ell が掛かるだけなので，最終結果は，

F_x = - B_0 I \ell\tag{11}

となり，式(1)に見事に一致しますね． \bm{F} の y,z 成分は省略しますが，ゼロになる事が分かります．つまり，純粋に磁場だけの効果からローレンツ力の磁場の作用が出てくることが分かりました．ちなみに，電気力線も磁気力線も線の縦方向には縮もうとし，横方向には広がろうとします．今日はこの辺で，お疲れ様でした！！