外微分

三次元ユークリッド空間 R^{3} 上の外積代数を考えると，微分形式として次の 4 つを定義できました．

【零次微分形式】

ただの関数． f(x,y,z),g(x,y,z) など．

【一次微分形式】

\omega_{1} = f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz \tag{1}

【二次微分形式】

\omega_{2} = P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \land dy\tag{2}

【三次微分形式】

\omega_{3} = \Theta (x,y,z)dx \land dy \land dz \tag{3}

それぞれ， 1,\ \ dx,dy,dz,\ \ dx\land dy,dy\land dz,dz\land dx,\ \ dx\land dy\land dz を基底とするベクトルの形になっていることを，もう一度確認して下さい．（零次微分形式はスカラーに相当．）さて，基底の次数別に何次微分形式などと呼び分けていますが，これらは異なる次数の外積空間の元ですので，言ってみれば，違う世界に住んでいるようなものです．

次数の異なる微分形式の間には，どのような関係があるのでしょうか？（まさか何の関係も無いというわけはなさそうですよね．）

外微分

実は， 外微分 という演算によって，次数の異なる微分形式を関係づけることが出来ます．零次微分形式を一回外微分すると一次微分形式，一次微分形式を一回外微分すると二次微分形式，二次微分形式を一回外微分すると三次微分形式という具合に，外微分を行うことで，微分形式は一つ次数が上の微分形式に対応させられます．

[*]この段階では，まだ外微分とは何か，具体的に示していませんので，『そのような関係を与える写像を入れることが出来る』というような言い方に留めておいた方が正確でしょう．しかし，すぐに示すように，外微分も，今までよく知っている微分によく似た計算です．

いきなりですが，関数の全微分を求める計算を思い出しましょう．ただの関数は零次微分形式ですから， \omega_{0}=f(x,y,z) と置きましょう．この 全微分 が次のように書けることは，既に微積分学でお馴染みだと思います．

d\omega_{0} = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \tag{4}

よく見ると，これは一次微分形式の形になっていますね．そこで，関数の全微分を求める計算は，『零次微分形式→一次微分形式』という写像だと考えることも出来るわけです．いまから考える外微分という計算も，関数の全微分を，もっと高次の微分形式にも拡張したものだと考えて下さい．以下の 5 つのルールに基づく演算を 外微分 だと定義します．

[†]今までの人生で，全微分を計算したことは何度もあると思いますが，『零次微分形式から一次微分形式への写像』をしていたとは気がつかなかったかもしりません．次からは，全微分を見たら一次微分形式だと思ってみましょう．

definition

  1. 0 次微分形式 \omega _{0}=f に対し， df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz とする．
  2. 1 次微分形式 \omega _{1}= fdx+gdy+hdz に対し， d\omega = df \land dx+df \land dy +df \land dz とする．
  3. 2 次微分形式 \omega _{2}= Pdy \land dz + Q dz \land dx + R dx \land dy に対して， d\omega = dP \land dy \land dz + dQ \land dz \land dx + dR \land dx \land dy とする．
  4. 3 次微分形式 \omega _{3}= \Theta dx \land dy \land dz に対して， d\omega = d\Theta \land dx \land dy \land dz \ (=0) とする．
  5. 任意の次数の微分形式について d(d\omega)=0 とする．

五番目の性質は， ポアンカレの補題 として知られるもので，二回連続で外微分を取れば，どんな微分形式でも零になるという主張です．この性質は，また稿を改めて考えます．まず，一次微分形式の外微分を実際に計算してみましょう．（途中で dx \land dx =0, \ \ dx \land dy = -dy \land dx などの性質に注意して下さい．）

d\omega _{1} &= d(f(x,y,z)dx+g(x,y,z)dy+h(x,y,z)dz) \\ & = df \land dx + dg \land dy + dh \land dz \\& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy + \frac{\partial f}{\partial z}dz \right) \land dx +\left( \frac{\partial g}{\partial x}dx + \frac{\partial g}{\partial y}dy + \frac{\partial g}{\partial z}dz \right) \land dy+\left( \frac{\partial h}{\partial x}dx + \frac{\partial h}{\partial y}dy + \frac{\partial h}{\partial z}dz \right) \land dz \\&= \frac{\partial f}{\partial y}dy \land dx + \frac{\partial f}{\partial z}dz \land dx + \frac{\partial g}{\partial x}dx \land dy + \frac{\partial g}{\partial z}dz \land dy + \frac{\partial h}{\partial x}dx \land dz + \frac{\partial h}{\partial y}dy \land dz \\&= \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial z} \right) dy \land dz + \left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{\partial x} \right) dz \land dx + \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) dx \land dy \tag{5}

確かに， d\omega_{1} は二次微分形式になっていることが分かります．次に，二次微分形式の外微分も計算してみます．

d\omega _{2} & = d( P(x,y,z)dy \land dz +Q(x,y,z)dz \land dx +R(x,y,z)dx \land dy) \\ &= dP \land dy \land dz +dQ \land dz \land dx +dR \land dx \land dy \\ &= \left( \frac{\partial P}{\partial x}dx + \frac{\partial P}{\partial y}dy + \frac{\partial P}{\partial z}dz \right) \land dy \land dz + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}dx + \frac{\partial Q}{\partial y}dy + \frac{\partial Q}{\partial z}dz \right) \land dz \land dx+ \left( \frac{\partial R}{\partial x}dx + \frac{\partial R}{\partial y}dy + \frac{\partial R}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy \\&= \frac{\partial P}{\partial x}dx \land dy \land dz + \frac{\partial Q}{\partial y}dy \land dz \land dx + \frac{\partial R}{\partial z}dz \land dx \land dy \\&= \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}+ \frac{\partial R}{\partial z} \right) dx \land dy \land dz \tag{6}

これは三次微分形式になっています．最後の段で，基底の順列と符号にだけ気をつけてください．では，最後に三次微分形式の外微分が 0 になることを確認してみましょう．

d\omega_{3} &= d(\Theta (x,y,z)dx\land dy \land dz ) \\ &= d\Theta \land dx \land dy \land dz \\&= \left( \frac{\partial \Theta}{\partial x} dx+ \frac{\partial \Theta}{\partial y}dy+ \frac{\partial \Theta}{\partial z}dz \right) \land dx \land dy \land dz \\ & = 0 \tag{7}

三次微分形式の外微分が 0 になるのは， R^{3} 上の微分形式を考えているからです．一般に， \land^{n}R^{n} の元の外微分は 0 になります．微分形式の外微分を取ると，微分形式の次数が一つ上がるという点を確認して下さい．

Important

外微分は微分形式の次数を一つ上げます．（写像 d: \ \land ^{k}R^{n} \ \longmapsto \ \land^{k+1}R^{n} になっています．）

[‡]式 (4)(5)(6) の成分を見て， {\rm grad}, \ {\rm rot}, \ {\rm div} の計算に似ていると思った人はなかなか鋭いです．ベクトル解析に出てきた {\rm grad}, \ {\rm rot}, \ {\rm div} が外微分に対応することは， もう一度grad,div,rot で示します．

練習問題

式 (5) と式 (6) にもう一回外微分を施し， d(d\omega)=0 が成り立っていることを確認してみて下さい．

全微分の座標不変性

あまり考えたことがなかったかも知れませんが，全微分は座標系によりません．

df = \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz

もし，適当な座標変換をして x=x(u,v,z), \ y=y(u,v,z), \ z=z(u,v,w) と変数変換できるとすれば，合成関数の微分公式により，次のような式変形が可能です．

df &= \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz \\& = \frac{\partial f}{\partial x}\left( \frac{\partial x}{\partial u}du + \frac{\partial x}{\partial v}dv + \frac{\partial x}{\partial w}dw \right) + \frac{\partial f}{\partial y}\left( \frac{\partial y}{\partial u}du + \frac{\partial y}{\partial v}dv + \frac{\partial y}{\partial w}dw \right) + \frac{\partial f}{\partial z}\left( \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv + \frac{\partial z}{\partial w}dw \right) \\& = \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial u}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial u}\right) du + \left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial v}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial v}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial v}\right) dv+\left( \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial w}+ \frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial w}+\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial w}\right) dw \\&= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\partial v}dv+ \frac{\partial f}{\partial w}dw

これより \frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy+ \frac{\partial f}{\partial z}dz=df= \frac{\partial f}{\partial u}du+ \frac{\partial f}{\partial v}dv+ \frac{\partial f}{\partial w}dw と書くことが出来ます．これはどういうことかと言えば，適当な座標変換 (x,y,z)\longmapsto (u,v,w) の下で，全微分 df が不変だということです．

theorem

全微分は，座標変換に対して不変です．

薄々予想されることですが，全微分の持つこの性質は，全微分を拡張したものである外微分にも引き継がれています．後ほど， 外微分の座標不変性 で詳しく考えてみる予定ですので，その準備として，とりあえず全微分の座標不変性を確認しておいて下さい．

[§]もちろん，ここで用いた座標変換とは， (x,y,z) と (u,v,w) を相互に関係付ける，滑らかな（少なくとも C^{1} 級の）関数による写像を意味しています．あんまり変チクリンな座標変換は考えません．しかし，あとで 微分形式の引き戻し で考えるように，微分形式で考える座標変換は変数の次数が変わる場合（例えば (x,y)\longmapsto (u,v,w) ）でも，写像が滑らかでさえあれば微分形式を不変に保ちます．通常のテンソル解析では同じ次数の可逆な変換（直交変換など）しか考えなかったことと比べると，微分形式の方がかなり自由度が高そうです．