ラグランジュの運動方程式 の簡単な適用例として,調和振動子の運動を考えてみます.
バネに取り付けられたおもりが振動するような運動を,調和振動子といいます. 自然界にはこのような運動が多くみられるため, 物理の問題でも調和振動子が多く登場しています. ここでラグランジュの運動方程式を考えるのは, つぎの図のような,水平面上の調和振動子です.
図のように座標軸等を取り,おもりの質量を とします. ニュートンの運動方程式はすぐに分かって,
となります.このあらかじめ分かっている方程式を わざわざラグランジュの方程式から導いてみる,ということをします.
ラグランジアンを書き出します. 解析力学のお偉いさん,ラグランジアン とは, を運動エネルギー, をポテンシャルエネルギーとして
なる量のことでした.ティーまいなすユーです. いまは単純な調和振動子の運動を考えていますから, 運動エネルギー,ポテンシャルエネルギーはすぐに分かって
と書けます.ここで とは の時間微分,すなわち速度のことです. したがってラグランジアン は
となります.位置 と,その時間微分 は, 独立した変数として取り扱うことに注意しておきます.
さて,ラグランジアンが分かったので, いよいよ ラグランジュの運動方程式 を考えましょう. ラグランジュの運動方程式は
というものでしたから,さきほどのラグランジアンを この方程式に代入して計算します. 計算すると,ニュートンの運動方程式と同じ形になるはずです. いっぺんにやると難しそうなので,左側第1項から順々に計算してみます.
ラグランジアンを で偏微分します. の項は消えます.さらにそれを時間微分します.
ラグランジアンを で偏微分します. の項は消えます.
各項が計算できたので,ラグランジュの方程式
を整理します.式(1)に式(2),(3)を代入すると
となります.移項して
であり,さらに を微分の形で表すと
です.これは,最初にみたニュートンの運動方程式です. 今回は,1次元の調和振動子を例にとって ラグランジュの運動方程式のアプローチを練習してみました. しかしこれだけでは,計算が繁雑になっただけでなんのメリットもありません. つぎはこれと同様のアプローチで,ニュートンの運動方程式を直接記述するのが難しい, 極座標の運動を記述してみましょう.