ハミルトニアンとラグランジアンの全微分形

この記事では，ハミルトニアンとラグランジアンの全微分形を確認します． その後で，特に一粒子の調和振動子に対する表式を確認します．

ハミルトニアンの全微分形

時間に依存しないハミルトニアンに対して， 正準方程式は，時間微分をドットで表すと，

\dot{q} = \dfrac{\partial H}{\partial p} \tag{1}
\dot{p} = - \dfrac{\partial H}{\partial q} \tag{2}

ですね．よって，ハミルトニアンの全微分は，

dH &= \dfrac{\partial H}{\partial q}dq + \dfrac{\partial H}{\partial p}dp \\&= - \dot{p} dq + \dot{q} dp \tag{3}

となります．

ラグランジアンの全微分形

式 (3) にルジャンドル変換を行います．

L = p \dot{q} - H \tag{4}

ですから，

dL &= d(p \dot{q} - H) \\&= p d \dot{q} + \dot{q} dp + \dot{p} dq - \dot{q} dp \\&= p d \dot{q} + \dot{p} dq \tag{5}

となります．

調和振動子の場合

調和振動子の運動方程式は，

m \ddot{q} = - k q \tag{6}

です．この関係を用いて，まずは dH を p,q で表します． p= m \dot{q} より，

dH &= - \dot{p} dq + \dot{q} dp \\&= - \dfrac{d}{dt}(m \dot{q}) dq + \dfrac{p}{m} dp \\ &= - m \ddot{q} dq + \dfrac{p}{m} dp \\&= kq \ dq + \dfrac{p}{m} dp \tag{7}

とこの様になります．そして，ラグランジアンの方は， q,\dot{q} で表しますから，

dL &= p d \dot{q} + \dot{p} dq \\&= m \dot{q} \ d \dot{q} + m \ddot{q} dq \\&= m \dot{q} \ d \dot{q} -kq \ dq \tag{8}

となります．そして，これらの量は状態量であるので，

&\dfrac{\partial}{\partial p}\dfrac{\partial H}{\partial q} - \dfrac{\partial}{\partial q} \dfrac{\partial H}{\partial p} \\ = &\dfrac{\partial}{\partial p} kq - \dfrac{\partial}{\partial q} \dfrac{p}{m} \\ = &0-0 = 0 \tag{9}

や，

&\dfrac{\partial}{\partial q}\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} - \dfrac{\partial}{\partial \dot{q}} \dfrac{\partial L}{\partial q} = 0 \tag{10}

が成立し，適当な積分路で積分してやれば，積分路の端点 (0,0) \to (p,q)\mathrm{or}(\dot{q},q) が同じである限り， どんな積分路であろうとも，

H = \dfrac{p^2}{2m} + \dfrac{k}{2}q^2 \tag{11}
L = \dfrac{m}{2}\dot{q}^2 - \dfrac{k}{2}q^2 \tag{12}

となります．それでは今日はこの辺で．