2次方程式には「解の公式」なるものが存在します. 中学・高校では頻繁に使うのですが,個人的に最近はあまり使わなくなっていました. 公式の存在すら忘れてしまい「ん,これはどうやって解くんだ?」,「解の公式?は?」 なんてことにならないためにも,そして「公式」に頼りきらないためにも, 2次方程式の解の公式を導出をしてみましょー. さらに学びたい人には, 平方完成の図形的イメージ という姉妹記事も用意しています.
まずは公式そのものの確認です.2次方程式 の解は
で与えられるという公式,これが「2次方程式の解の公式」です. ほとんどの人が,中学生のとき数学の授業で暗記させられたと思います. みなさんは,まだ覚えていますか?(僕はついこないだまで忘れてました.)
それでは,解の公式を導いてみます. 単純に,2次方程式を平方完成して解けば良いです.つぎの2次方程式
を,実際に平方完成して解いて行きましょう (平方完成の手順を忘れてしまった人は,その復習にもなりますよ). 最初に,一番次数の大きい の係数で の項を括ります. いまの場合は で括ることになります.
そして,括ったカッコを2乗(平方)の形にします.ここが平方完成です.
このとき,マイナスの項が出てくる理由はいいですよね (よく分からなければ,実際に式(3)を計算して, 式(2)に戻ることを確かめてみてください).
式(3)の左辺第1項だけを左辺に残し,それ以外は右辺に移項します.
上式の両辺を で割って( とします),右辺を通分すると
となります.ここまでくれば,後は
を変形して の形にしてやれば解の公式のできあがりです. とりあえず,左辺の2乗を外したいですね.
たとえば「 」という式があって, の二乗を外したい場合は, 右辺をルートにすれば良いのでした.しかし では間違いです. 二乗して になる数は と の二つあることに注意してください. したがってこの例では となります.
これを踏まえて式(4)を変形しますと
となります.そして左辺第2項を移項して
通分すると
のできあがりです.これで,解の公式(1)の導出が完了しました. 導出の流れさえ理解しておけば,解の公式を忘れてしまっても, からスタートしていつでも導くことができます. 解の公式を導く方法は上の通りでしたが,「平方完成」とはどういう意味があったのでしょう. 知りたい方は 平方完成の図形的イメージ に進んでみてください.