整数の加法群の剰余類

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整数全体は，加法に関して群をつくるということでした（群の公理の例６を参照）．これを整数の加法群と呼びます．このページでは，ある整数で割ったときの余りに応じて，整数全体をグループ分けすること(類別です)を勉強します．

類別の概念自体は，類別で勉強しましたが，この記事では同値関係と併せて，さらに理解を深めることを目標とします．

合同式

整数論を習っていない人のために，ここで少し合同式の復習をしておきます．

ある整数を，整数 m(>1) で割ると，ただ一通りに次のように表現することができます．も整数です．

ここで，を整商，を剰余と呼びます．剰余とは，要するに余りです．で割ったとき，幾つ余るかという点だけに着目するととは同じですから，これを次のように書き，『法について合同である』と言います．『で割ったときの余りが等しいよ』という意味です．これを合同式と言います． ${\rm mod}.$ とあるのが，何の数で割ったかを示す記号です．

$p \equiv q \ \ ({\rm mod}.m)$

[*]	ここに出てくる記号 ${\rm mod}$ はの略です．そのままモドと読む人もいますが，正しくはモジュロです．例えば ${\rm mod}.3$ を『を法として』と読んでもいいし『モジュロ３』と読んでも良いです．ラテン語で基準，単位などを意味するから派生した前置詞がです．

同値関係

さて，群の類別のページで同値関係という概念を勉強しましたが，二つの整数 p,q は，実は合同式によって同値関係で結ばれると言えるのです．同値関係は，集合の二つの元 a,b について，次の三つの関係が成り立つような関係と定義されます．

$a \sim a$
$a \sim b \ \Longrightarrow \ b \sim a$
$a \sim b, b \sim c \ \Longrightarrow \ a \sim c$

最初の条件は，同値関係 $\sim$ がなりたつとき，どんな元も自分自身とは同値だという主張( 反射律 )，二番目の条件は，同値関係はどちらの視点から見ても成り立つという主張( 対称律 )です．三番目の条件は， 推移律 と呼ばれます．

剰余類

さて，二つの整数の間になりたつ合同関係は，同値関係の３つの条件を満たします．

$p \equiv p \ ({\rm mod}.m)$
$p \equiv q \ ({\rm mod}.m) \ \Longrightarrow \ q \equiv p \ ({\rm mod}.m)$
$p \equiv q, \ q \equiv r \ ({\rm mod}.m) \ \Longrightarrow \ p \equiv r \ ({\rm mod}.m)$

そこで，整数全体は，合同関係を使って類別できるといえます．一般に，集合は，元に同値関係がなりたつとき，類別できるのでした( 類別を参照)．例えば，を法とした合同関係を考えましょう．すると，どのような整数も，で割ったときの余りは 0,1,2,3,4 のどれかであるはずですので，整数全体を５つに類別できることになります．