部分群

部分群という言葉は，ここまでにも何度も出てきました．直観的にも理解しやすい概念だとは思いますが，あまり正確に定義してはいませんでした．今後の議論に備えて，もう少し議論を掘り下げます．

ここまでは群の例を考えてきましたが，この辺りから群の性質に関する話が増えてきます．内容が抽象的すぎて分からないと感じたら，いつでも簡単な具体例に戻り，その話題を十分に消化するまで悩むことが大切です．先を急いではいけません．

部分群

ここまで，部分群という言葉をあまり正確に定義せずに使ってきましたが，今後，群を部分群に分けることが話題になりますので，まずは，もう少し丁寧に部分群の定義を与えるところから始めます．

群 G の部分集合 H が次の二つの条件を満たすとき， H を G の部分群と呼びます．

  1. a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H \ \ \ (1)
  2. a \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1} \in H \ \ \ (2)

まず，ここで行われている演算は， G の演算と同じですから，結合則がなりたつことは前提になっています．最初の条件は，演算が閉じていること，すなわち群の公理の一番目の条件です．二番目の条件は，逆演算が存在するという主張です．

あとは，単位元の存在が示せれば H も群だと言えるのですが， (1) で b=a^{-1} と置けば， aa^{-1} = e \in H となって， (1) と (2) から自動的に単位元の存在は保証されます．すなわち， 1. と 2. を満たすことが，部分群となるための条件です．

群 G の部分群のうち，最大のものは G 自身です．また，最小のものは単位元 e だけからなる群 \{ e\} です．この二つは 自明な部分群 と呼びます．どんな群にも，この二つの部分群だけは必ず存在するからです．これら以外の部分群を 真部分群 と呼びます．真部分群があるかないかは，群によります．

巡回部分群

群 G (どんな群でも構わない)の任意の元 a に対し， a を生成元とする巡回群 H が存在するならば， H は G の部分群となります．これを 巡回部分群 と呼びます．

巡回部分群 H が，部分群の定義 (1) と (2) を満たすことを確認してみましょう．まず， H には a の全ての冪乗が含まれているはずですので，次式がなりたちます．

a^{i}, a^{j} \in H \ \Longrightarrow \ a^{i+j}

また， a^{i} に対して a^{-i} も必ず H に含まれてますから，逆元が存在し， a^{i}a^{-i}=e より単位元も H に含まれます．

部分群のもう一つの定義

上で与えた部分群の定義は直感的に意味も分かりやすく，十分にシンプルなものですが，さらに二つの条件を一つにまとめてしまうことができます．

条件 (1) と (2) より，次式が言えます．

a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}, b \in H \ \Longrightarrow a^{-1}b \in H \tag{3}

条件 (3) は条件 (1) と (2) から導かれた必要条件です．しかし逆に a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}b \in H が成り立つとすると， b=e と置くことで， a,e \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}e=a^{-1} \in H となり， 条件2.を導けます．

条件 (2) が示せると，ここから a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1},b \in H \ \Longrightarrow \ (a^{-1})^{-1}b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H として，条件(1)も導けます．(単位元は， b=a とすれば， a,a \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}a=e \in H となり， H に含まれることが示せます．)

従って，条件 (3) は条件 (1)(2) の必要十分条件になっており， (1)(2) の代わりに (3) を部分群の定義にしても良いということになります．

[*]パッと見たところ，式 (3) は片一方にだけ {-1} が付いていたりして，これだけから群の公理を示せるというのが分かりにくい式形です．しかし，馴れるしかありません．

まとめ

ここまでの議論をまとめます．次の 1. 〜 4. は，部分群の定義としてどれも同値だということになります．

  1. H は G の部分群である．
  2. a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H; \ \ e \in H; \ \ c \in H \ \Longrightarrow \ c^{-1} \in H
  3. a,b \in H \ \Longrightarrow \ ab \in H, \ a^{-1} \in H
  4. a,b \in H \ \Longrightarrow \ a^{-1}b \in H

４番目の定義が，ぱっと見ただけでは分かりにくいかも知れませんが，一番簡潔な表現になっているため，今後よく出てくることと思います．これを機会に慣れておきましょう．

[†]加法群では x^{-1}=-x と書かれますので，４番目の定義は a,b \in H \ \Longrightarrow \ -a +b \in H となります．こんな形にも慣れておくと良いです．

練習問題

四番目の定義を使って，次のことを確認してみましょう．

  1. 正の実数全体 R^{+} は，実数の乗法群 R-\{0 \} の部分群になります．
  2. 正則な n\times n 行列全体の作る群の中で， n \times n の直交行列全体の作る集合は部分群になります(直交行列とは転置行列 A^{t} が逆行列 A^{-1} になるような行列で， A^{t}A=AA^{t}=E を満たすものです．)

記号

群 H が群 G の部分群であることを，記号で H \subset G のように書きます．記号 \subset , \supset は集合同士の包含関係を示すときに使い， \in , \ni は元の帰属関係を示すのに使います．例えば， \alpha , \beta \in K と書けば， \alpha と \beta が集合 K の元だという意味です．混乱しないように，記号に慣れていきましょう．

一つの定理

部分群になりたつ定理を一つだけ紹介しておきます．

theorem

任意の部分群 H には H^{2}=H がなりたちます．

proof

証明は簡単です． e \in H より， H の元 h \in H に対して eh \in HH \ \longrightarrow \ h \in H^{2} がなりたちます．これより H \subset H^{2} が導かれます．一方， H は群なので演算について閉じているので hh \in H のはずで，これより H^{2} \subset H が導かれます．二つの式より H=H^{2} が要請されます．■

[‡]二つの集合 A,B が等しいことを示すのに，ここでやったように A \subset B と B \subset A を両方示し，ゆえに A=B と結論づけるのはよくやる証明のテクニックです．