集合の元同士を足す・掛ける

この記事で勉強するのは，記号の書き方だけですので，特に難しいところは無いと思います．最後に，簡単な演習問題を載せておきます．

集合の元全てに何かを掛ける

二つの集合 K,L を考えます．このとき， K に含まれる元と， L に含まれる元の積をとり，それらを全部集めた集合を KL もしくは LK のように書きます． KL と LK が両方あるのは，一般に積は可換ではないので，乗法の順序も重要だからです．

KL=\{ kl|k\in K,l \in L \} LK=\{ lk|k\in K,l \in L \}

特に， K がたった一つの元 a からだけなる集合 K=\{a \} であった場合には，もう K の代わりに a と書いてしまった方が分かりやすいですから，次のように書きます． L の全ての元に，左から，もしくは右から a を掛けた集合という意味です．

aL=\{ al|l \in L \} La=\{ la|l \in L \}

一般に， K や L が群でも， KL や LK は群にならないことに注意してください．

逆元だけ集める

次も，表記のルールです．集合 K に含まれる各元に対し，その逆元だけを集めた集合を K^{-1} と書きます．

元同士を足す

特に，集合 K と集合 L の元の間に可換演算を考えるとき，この演算を加法の形で表現することができます．これを K+L と書きます．集合同士の和集合 K\cup L とは意味が違いますので注意してください．

K+L=\{ k+l|k\in K,l \in L \}

引き算も定義できます．

K-L=\{ k-l|k\in K,l \in L \}

これらは，記法の問題ですから，慣れが肝心です．群の類別を勉強し始めると，こうした書き方の集合がたくさん出てきます．

問題１

一般に， K や L が群でも， KL や LK は群にはならないことを示してください．また， KL や LK が群になるのはどのような場合でしょうか？

問題２

もしも K が群ならば， K^{-1} も群になることを示してください．

問題３

群 G が元 a を含みます．このとき， 次のことをそれぞれ確認してみてください．

  1. aG=G
  2. Ga=G
  3. G^{-1}=G

問題４

群 G に含まれる任意の元 x に対し，もし x^{2}=e が成り立つならば， G は可換群であることを示してください．