この記事と次の ガロア群の例 では, 体の自己同型写像 で勉強したガロア拡大とガロア群について,もう少し理解を深めることを目的とします.目新しい概念は出てきませんが,役に立つ定理を幾つか考えます.また,ここまでに既習の事柄も,このあたりで一度頭の整理をしてみて下さい.
ガロア群の元を求める際に,次の定理が便利です.
Important
を
の素数乗根
(
は素数)とします.有理数体
に
を添加してできる拡大体
に対し,ガロア群は整数の剰余群と同型となり,
がなりたちます
proof
いま は素数としていますので,剰余群
は
次の巡回群
になります.
を考えると,
は
の解ですが,この方程式は
上既約で,
上には解を持たず,体
は
の最小分解体
になっており,拡大次数は
です.よって定理が成り立ちます.■
ここまでに,ガロア拡大とは『 の拡大体
が,
の
上自己同型写像群
が
を固定体とし,
の場合』と定義しました.この定義は分かりやすいものですが,全く同値な定義に言い換えることも出来ます.
【ガロア拡大の定義】
これらが同値な条件であることは,以下に証明します.場合に応じて,分かりやすい定義を使えば良いと思います.二番目の定義を最初に挙げる教科書が多いようです. の証明は 体の元の共役と正規拡大体 で示してありますので,ここでは
の証明を示します.
proof
( ⇒
)
の任意の元
に対し,
の最小多項式が重解を持たず,かつ
上で一次式の積に分解できることを示せばよいわけです.
は有限群ですので,
の元の中で相異なるものを集めた集合
を考えます
.
の任意の元
にたいし,この集合の元による写像を
と書き,多項式
を考えます.まず各
は全て異なるので,
は重解を持ちません.また,
を展開した際の係数は全て
の和と積で表現されますが,これらは固定体
の元になっているはずです.これより,
の
上の最小多項式
(
とは限りません)は
を割るので,
は重解を持ちません.よって
は
上一次式の積に分解できます.これより,
は
の分離正規拡大体になっています.■
ガロア拡大の表現には,他にも色々なものがあり,教科書によって取り上げ方が様々だと思います.例えば,次の二つの条件が成り立つことも, が
のガロア拡大であることと同値であることを示すことが出来ます.
【補足】
後で使う都合上, だけ,簡単に証明しておきます.あまり,証明の細かいところにはまらずに,結果だけ了承して先に進んでも良いと思います.
proof
まず必要条件を証明します. が
のガロア拡大だとすれば,ガロア群を
のように決めることができ,
に対し
が言えます.これらの中から,
個を選んで,多項式
を作ると,
の係数は
によって動かされませんから(ガロア群の元は
を置換するだけなので),
は
上の多項式だいうことが出来ます.ここで
を解とする
上既約な多項式
を考えると(
次多項式とします),
より,
は
を割るはずですが,
の最小分解体が
なので,
の最小分解体も
になり,既約という仮定より,
の解は全て異なるはずです.■
proof
次に十分条件を示します. と書け,
とします.いま,
の最小分解多項式は
個の解持つはずですので,それを
とすると,拡大体
は,全てのの
に対して
を満たし,結局
が言えます.ここで,写像
を
と定義すると,
は
を
上のベクトル空間とみたときの基底になっており,
上の多項式
に対して
が成り立ちます.これより,
は
を固定体とする
の自己同型写像だということが出来て,
は
のガロア拡大だと言えます.■
は
のガロア拡大ではありません.
の任意の元は
の形に書けますが,
の共役元である
(
は
の三乗根で
とします)を含まないため,正規拡大にはなっていないからです.