波の式2

波の式1 では,波源が原点にあって y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T}A は振幅, T は周期)という振動をしている場合について, x>0 の 領域でどのような振動になっているかを学びました.波の式2では,この場合の x<0 の領域での振動や, 波源の振動が y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} でない場合の振動,そして,波源が原点以外の点にある場合の振動についてみていきます. 以下では,波長を \lambda ,波の伝わる速さを v とします.

x<0の領域ではどのような振動になっているか

波源が原点にあって y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} という振動をしている場合, x>0 の領域では,

y(x, t)=A\sin \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda} \right)

という振動をしていましたね.点 x においては,「波源の振動が \frac{x}{v} 秒遅れて伝わる」 ということから式を導いたのでした.では, x<0 の領域にはどのような振動が伝わっているのでしょうか.

tomo-sinwave2-fig1.png

原点にある波源の振動が点 x の位置まで伝わるのにかかる時間は, \frac{(-x)}{v} 秒となります. なぜ,マイナスがついているか,分かるでしょうか? 今, x は負です.そのため, \frac{x}{v} は負になってしまい, 「時間が経過している」ということと矛盾してしまいます.それを避けるために, マイナスをつけて,値がプラスになるようにしているのです.

\frac{(-x)}{v} 秒前の波源の振動が伝わってきているので, x<0 の領域では,

\begin{array}{rl}y(x, t) &= \displaystyle y\left(0, t-\frac{(-x)}{v}\right) \\        &= \displaystyle A\sin 2\pi\frac{\left( t-\frac{(-x)}{v} \right)}{T} \\        &= \displaystyle A\sin 2\pi\frac{\left( t+\frac{x}{v} \right)}{T} \\\end{array}

となります.少し書き換えてみますと,

\begin{array}{rl}y(x, t) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t+\frac{x}{v}\right) \\        &= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{vT}\right) \\        &= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda}\right)\\\end{array}

となります.

波源の振動がこれまでと違う場合はどうなるか

これまでは,波源の振動を

y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T}

に限ってきました.これは,時刻 t=0 に媒質が点 x=0y>0 の方向に向かって通過する振動で, 言ってみれば特殊な場合です.しかし,波源は必ずしもそういった振動であるとは限りません.一般に波源の振動は,

y(0, t)=A\sin \left( 2\pi \frac{t}{T} +\alpha \right)

と表すことができます.この振動では, y(0, 0)=A\sin \alpha となりますね( \alpha を「初期位相」と呼びます). さて,このとき点 x ではどのような振動になるでしょうか.波源の振動が, x>0 の領域では \frac{x}{v} 秒だけ遅れて, x<0 の領域では \frac{(-x)}{v} だけ遅れて伝わることは, もう分かりますね.したがって, x<0 の領域では

y(x, t)=y\left(0, t-\frac{x}{v} \right)= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda} +\alpha\right)

x>0 の領域では

y(x, t)=y\left(0, t-\frac{(-x)}{v} \right)= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}+\frac{x}{\lambda} +\alpha\right)

となるわけです.

波源が原点以外の点にある場合はどうなるか

これまでは,波源が原点にある場合を扱ってきました.では,波源が原点以外の点にある場合は,どうなるのでしょうか. 波源が点 x_1 にあって,

y(x_1, t)= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \frac{t}{T} +\alpha\right)

という振動をしている場合を考えてみましょう.

x>x_1 の領域の点 x には,波源の振動が \frac{x-x_1}{v} 秒遅れて伝わってきます.

tomo-sinwave2-fig2.png

したがって,

\begin{array}{rl}y(x, t) &= y\displaystyle \left(x_1, t-\frac{x-x_1}{v}\right) \\        &= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \frac{t-\frac{x-x_1}{v}}{T}+\alpha \right)\\        &= \displaystyle A\sin \left( \frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x-x_1}{v}\right) +\alpha \right)\\        &= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x-x_1}{\lambda}\right) +\alpha \right)\\\end{array}

と求まります.

波源が点 x_1 にあって,

y(x_1, t)= \displaystyle A\sin \left( 2\pi \frac{t}{T} +\alpha\right)

という振動をしている場合, x<x_1 の領域ではどのような振動になるか.

まとめ

波の式を求めるのに考えなければならないことは,

  • 波源はどこにあるのか
  • 波源はどのような振動をしているか
  • 振動の様子を知りたい点には,波源の振動が何秒遅れて伝わってきているか

の3つです.・・・と聞いて,「ふむふむ」と思えた人はもう大丈夫です.