波の式1

波動を学んでいると，「波の式」というものが登場します．振動の様子を，式で表してみようというものです．任意の点の時刻における変位 y(x, t) を求めることが目標です．以下では，変位 $y[{\rm m}]$ や位置 $x[{\rm m}]$ ，時刻 $t[{\rm s}]$ ，周期 $T[{\rm s}]$ ，波長 $\lambda[{\rm m}]$ ，振幅 $A[{\rm m}]$ など，波動を学ぶ上で基本的な要素が出てきます．これらについて勉強が済んでいない人は，まず波の大事な性質から読んでみてください．

原点は単振動している

分かりやすいように，波源は原点にあるとします．そして，その波源は単振動しています．原点での変位 y(0, t) はどのように表せるでしょうか．

ここでは周期をとしていますので， T[s] 経過した時に元の変位に戻っていなければなりません．時刻 t=0 での変位をとし，そこから単振動をスタートしたとすると，

$y(0, t)=A\sin 2\pi \frac{t}{T} \tag{1}$

となります．は振幅です．時刻 t=0 からスタートして， T[s] 秒後の t=T のときに初めて，位相が $2\pi$ に戻りますね．つまり，変位が元に戻ってくるということです．ここで，位相が無次元になっていることも確認してください．（式(1)のより詳細な説明については，単振動を参照してください．）

原点の振動が伝わっていく

原点の振動が式(1)のように表されるとき，波はどのように伝わっていくのでしょうか．グラフに描いてみましょう．ひもの先を原点で振動させるようなイメージです．波源から出た波は，等速で伝わっていきます．

$t=\frac{1}{4}T$

$t=\frac{1}{2}T$

$t=\frac{3}{4}T$

$t=\frac{5}{4}T$

このように伝わっていきますね．原点での振動がだんだんと伝わっていくことが分かります．上に示したグラフは， y-x グラフです．つまり，グラフ1枚1枚は時刻を固定したものだということです．そして，時刻を追って動かすと，以下のようになります．

原点以外の点ではどのような振動になるか

では，原点以外の点ではどのような振動になるかをみていきましょう．波は以下のように伝わっていくのでした．

点にスポットを当てて考えてみます．今，点にいる波も，元はといえば原点にいました．何秒か前の原点の振動が再現されているということもできますね．では，何秒前の原点の振動が再現されているのでしょうか．波の伝わる速さをとしますと，原点から点に到達するまでに $\frac{x}{v}$ という時間がかかっています（ x>0 としています）．つまり， $\frac{x}{v}$ 秒前の原点での振動が，今，点で再現されているのです．原点は(1)で表される振動をしているわけですから，点における変位を y(t, x) とすると，

$y(t, x)=y\left(0, t-\frac{x}{v}\right)=A\sin 2\pi\frac{\left( t-\frac{x}{v} \right)}{T}$

となることが分かります．少し書き換えてみますと，

$\begin{array}{rl}y(t, x) &= \displaystyle A\sin \frac{2\pi}{T}\left(t-\frac{x}{v}\right) \\ &= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{vT}\right) \\ &= \displaystyle A\sin 2\pi \left(\frac{t}{T}-\frac{x}{\lambda}\right) \tag{2}\\\end{array}$

となります（ $\lambda$ は波長）．今まで一生懸命この式を覚えていた!!っていう人，いませんか？えぇ〜っと･･･はどこだっけ･･･ $\lambda$ はどこだっけ･･･分子？分母？なんて思い出そうとしていた人，いませんか？導出はそれほど難しくありませんから，式を覚えるより考え方を身に付けてしまった方が良いですよ．また，はじめのセクションでも触れましたが，位相は無次元です．(2)式の括弧の中を見てみると， $t[{\rm s}]$ が $T[{\rm s}]$ で割ってありますし， $x[{\rm m}]$ が $\lambda[{\rm m}]$ で割ってありますから，ちゃんと無次元になっています．そういったところを気をつけていると，つまらない間違えをふせげるかもしれません．

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