テンソル記号を使ってベクトルの公式を導く

微分演算子の演算（ grad,div,rot, \triangle ）を，テンソル記号を用いて表わすと次のようになります．添字は i=1,2,3 等とし，同じ添字が二回出てきた場合（二乗を含む）は，縮約によってその添字の総和を取るものとします．

\bm{A} \cdot \bm{B} = A_{i}B_{i} \tag{1}
(\bm{A} \times \bm{B})_{i} = \varepsilon_{ijk} A_{j}B_{k} \tag{2}
({\rm grad} f)_{i} = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} \tag{3}
{\rm div}\bm{A} = \frac{\partial A_{i}}{\partial x_{i}} \tag{4}
({\rm rot} \bm{A})_{i} = \varepsilon_{ijk} \frac{\partial A_{k}}{\partial x_{j}} \tag{5}
{\triangle} f = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{i}} \tag{6}
({\triangle} \bm{A})_{i} = \frac{\partial^{2} A_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}} \tag{7}

式 (1)-(7) は計算の基本になりますから，自分でスラスラ書けないと困ります．各式の左辺の意味がわかっていれば，テンソル記号表記の右辺を導くのは簡単だと思います．また，クロネッカーのデルタやレヴィ・チヴィタ記号の公式も必要になりますので，ここに紹介しておきます．

\delta_{ii}=3 \tag{8}
\delta_{ij} \varepsilon_{ijk} = 0 \tag{9}
\varepsilon_{imn} \varepsilon_{jmn} = 2\delta_{ij} \tag{10}
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk} = 6 \tag{11}
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk} = \delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl} \tag{12}
\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmn} = \delta_{il}(\delta_{jm}\delta _{kn}-\delta_{jn}\delta_{km}) - \delta_{im}(\delta_{jl}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta_{kl})+ \delta_{in}(\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl}) \tag{13}
[*]この記事の内容と基本的に同じもので，より 本格的に解説した資料 を，愛媛大学元教授・矢野忠先生から御寄稿頂きましたので，ぜひ併せてご覧下さい．矢野先生，どうもありがとうございました．

例題

例題として， よくある間違い で使った次の公式を導いてみましょう．

\nabla \times (\nabla \times \bm{V}) = \nabla (\nabla \cdot \bm{V}) - \triangle \bm{V}

まず左辺をテンソル記号で表記します．ベクトル \nabla \times \bm{V} の第 k 成分をテンソルでまず (\nabla \times \bm{V})_{k}=\varepsilon_{klm}\frac{\partial V_{m}}{\partial x_{l}} と書くところから始めましょう．添字は巡回的に k,l,m の順だとします．頑張って，もう一度 \nabla \times を作用させ， \nabla \times (\nabla \times \bm{V}) の第 i 成分を表わします．添字は巡回的に i,j,k の順だとします．

(\nabla \times (\nabla \times \bm{V}))_{i}=\varepsilon_{ijk} \frac{\partial}{\partial x_{j}}\left( \varepsilon_{klm}\frac{\partial V_{m}}{\partial x_{l}} \right)

すでに頭がこんがらがっている人がいるかも知れませんが，式 (5) を使っただけです．添字が混ざらないようにすることだけに注意して下さい．以下，一行ごとにコメントと式変形を交互に書いていきます．まず \varepsilon_{klm} を外に出します．

= \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{klm} \frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}

式 (12) が使えるように， \varepsilon_{klm} を \varepsilon_{lmk} にします． (klm) \rightarrow (lmk) は偶置換なので符号は変わりません．

= \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{lmk} \frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}

式 (12) を使います．

= (\delta_{il}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{jl}) \frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}
= \delta_{il}\delta_{jm}\frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}} - \delta_{im}\delta_{jl}\frac{\partial^{2} V_{m}}{\partial x_{j} x_{l}}

クロネッカーのデルタの作用を考えますが，出来る限り lm を消して ijk に統一する方向で整理します．

= \frac{\partial^{2} V_{j}}{\partial x_{j} x_{i}} - \frac{\partial^{2} V_{i}}{\partial x_{j}^{2}}

式 (1)(3) より第一項目は (\nabla (\nabla \cdot \bm{V}))_{i} ，式 (7) より第二項は -(\triangle \bm{V})_{i} と書き直すことができます．公式が証明できました．

=(\nabla (\nabla \cdot \bm{V}) -\triangle \bm{V})_{i}

練習問題

練習問題として，次の公式をテンソル記号を使って導いてください．テンソル記号をすらすら使うには，ある程度の馴れが必要ですが，馴れてくれば，半ば自動的に公式を導けます．

  1. \nabla \times (\bm{A} \times \bm{B})= (\bm{B} \cdot \nabla )\bm{A} - (\bm{A} \cdot \nabla )\bm{B} -\bm{B}(\nabla \cdot \bm{A}) + \bm{A}(\nabla \cdot \bm{B})
  2. \bm{A} \times (\nabla \times \bm{A})= \frac{1}{2}\nabla |\bm{A}|^2 - (\bm{A} \cdot \nabla )\bm{A}
  3. \bm{A} \times (\nabla \times \bm{B})= \nabla (\bm{A}\cdot \bm{B}) - (\bm{A} \cdot \nabla )\bm{B}- (\bm{B} \cdot \nabla )\bm{A} -\bm{B} \times (\nabla \times \bm{A})