スカラー場と勾配

スカラー場 $\phi (\bm{r})$ を考えます．

$\phi (\bm{r}) = \phi (x_{1},x_{2},x_{3}) \tag{1}$

スカラー場とは，空間の各点 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ でスカラーが一つ決まるような関数を言います．ある点では $\phi = \alpha$ ，別の点では $\phi = \beta$ という具合です．しかし $\phi (\bm{r})$ の取る値を全部調べてグラフにすると $(x_{1},x_{2},x_{3},\phi (x_{1},x_{2},x_{3}))$ という四次元のグラフになってしまい，絵に描けないので，何だか何だかよく分かりません．

そこで，代わりにあるスカラー値，例えば $C_{1}$ を考え， $\phi (\bm{r})=C_{1}$ を満たす $(x_{1},x_{2},x_{3})$ を全てグラフに描いてみることにします．これは何らかの三次元曲面を表わす式となり，グラフも目で見て分かります．その代わり，全体の様子を知ろうと思えば，様々なスカラー値に対して，たくさん曲面を描かなければなりません．

これらの面を スカラー場の等位面 と呼びます．（物理学の文脈では，スカラー場はしばしばポテンシャルと呼ばれ，このような面は 等ポテンシャル面 と呼ばれます．）上図は等位面の様子を示してみたものです． $\phi (\bm{r})$ が連続関数ならば，の値を少しずつずらしてやって，様々な等位面をタマネギの皮が重なるような感じに書けます．詳しい地図には等高線という線が引いてありますが，等位面とは，等高線の三次元版だと思えば良いでしょう．を一定間隔で変化させて様々な等位面を重ねて描く時，等位面の密度が濃い（隣の等位面との距離が近い）部分は $\phi$ の変化が激しく，逆に等位面の密度が薄い（隣の等位面との距離が遠い）部分は $\phi$ の変化が緩やかな部分だと考えることができます．これは，等高線の密度が濃い部分は山の勾配がきつく，密度が薄い部分の勾配が緩いのと同じ理屈ですね．

[*]	ただし，地図で『勾配が急だ』『勾配が緩い』などというのは，"高さの勾配"の話をしています．これは，『高さ』が位置の関数になっていると考えられます．一般に式のように書いた関数 $\phi$ は，高さに限らず，重力，電場，磁場など色々な場を表わす場合があります．電場や磁場など目に見えない世界になると急にイメージが湧かなくなる人がいますが，基本は上の図と，地図の等高線のイメージです．

[†]	新田次郎氏の小説『孤高の人』に，主人公・加藤文太郎が，会社の先輩に『地図遊び』という遊びを教わるシーンがあります．地図の等高線をじっくりながめ，地形の起伏が目に浮かび，山が川がどこをどう流れているか，光が当たると影がどう伸びるかという立体的な様子を，山登りに行く前にイメージするという遊びなんですが，かなり高度な立体図形の把握能力が求められそうです．読者のみなさんも，等位面を使って『地図遊び』をしてみて下さい．電場や磁場をいきいきと想像できる人になりたいものです．

等位面が交差することはありません．というのは，最初に『 $\phi$ に対し空間の各点 $(x_{1},x_{2},x_{3})$ でスカラーが 一つ決まる 』と仮定しているからです．

スカラー場の勾配

私達は，スカラー場 $\phi (\bm{r})$ の値に応じて決まる曲面（等位面）を考え，等位面の粗密によってスカラー場の変化の具合を考えました．面の粗密に応じて変化の具合が分かるというのは，ちょうど地図の等高線と同じアイデアでした．そこで，次の興味が湧いてくるのは，実際に関数 $\phi (\bm{r})$ の変化具合を計算してみることです．

もしも $\phi$ が一変数の関数，例えば $\phi (t)$ ならば，任意の点（例えば $t=t_{0}$ ）における勾配は， $\phi$ の微係数を計算して $\frac{d\phi}{dt} \Big| _{t=t_{0}}$ として調べられるでしょう．いま，私達が考えなければならないのは， $\phi$ が $\phi (\bm{r})=\phi (x_{1},x_{2},x_{3})$ という三変数の関数であることです．とりあえず，三種類の偏導関数を考えてみましょう．

$\frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \ \ \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}}, \ \ \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}$

これら三種類の偏導関数の組は共変ベクトルと反変ベクトルの記事の最後の例で示したように，ベクトルになります．

$\left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{2}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right)$

このベクトルを 勾配ベクトル と呼び，次のように ${\rm grad}$ を用いて表わします．（英語で勾配のことを gradient と言います．）

${\rm grad} \phi &= \left( \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}, \ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}} \right) \\&= \frac{\partial \phi}{\partial x_{1}}\bm{e_{1}}+ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}\bm{e_{2}}+ \frac{\partial \phi}{\partial x_{3}}\bm{e_{3}}$

もしくは，微分演算子を組み合わせたベクトルを $\nabla =\left( \frac{\partial }{\partial x_{1}}, \ \frac{\partial }{\partial x_{2}}, \ \frac{\partial }{\partial x_{3}} \right)$ と置き，次のように書いても同じことです．この記号 $\nabla$ を ナブラ もしくは ハミルトンの演算子 と呼びます．（ナブラを， $\phi$ のようなスカラーに作用させる時 ${\rm grad}$ と書くのです．ベクトルに作用させるときは ${\rm div}$ と書きます． ${\rm div}$ はまた後で勉強します．一長一短あるのですが，今後， ${\rm grad}$ と書くより，記号 $\nabla$ を使う方が多いと思います．）

[‡]	ナブラはベクトルですから，ベクトルの性質を持ち，ベクトルで成り立った定理を使うことができます．そういう意味で，ナブラだって疑いなく一種のベクトルです．ただし，ナブラの演算で注意しなければならないのは，ナブラの右側から何かを掛けると，微分されてしまうという性質です．ナブラに左から何か掛けてもそれは単なる積です．こうした『微分演算子』という役割を持つため，ナブラを掛け算するときには注意が必要です．たとえば内積も可換ではなくなります．順々に $\nabla$ を使った計算を見ていくので馴れていくとは思いますが，このことを念頭に置いておいて下さい．よくある間違いを参考にしてください．

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