多価関数のポテンシャル

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積分領域が単連結ではない場合，内には少なくとも一本『曲面の境界にはならない閉曲線』を引くことが出来ます．例えば，をトーラス（ドーナツ型）だとすると，次図の点線によって囲まれる曲面はありません．

いま，単連結ではない領域で定義される渦なし場 $\bm{A}$ を考えてみましょう．

$\nabla \times A =\bm{0} \tag{1}$

渦なし場とスカラーポテンシャルに関してスカラー場と層状ベクトル場で示した定理の証明では，単連結領域ではストークスの定理が使えるので $\ointop \limits_{L} \bm{A} \cdot d\bm{r} = \int \int \limits_{S} (\nabla \times S) \cdot d\bm{S}$ が成り立ち，渦なし場では $\ointop \limits_{L} \bm{A} \cdot d\bm{r} =0$ となる事が大きなポイントとなっていました．裏を返せば，多重連結な領域ではストークスの定理がなりたたず，一般に渦なしだからと言って $\ointop \limits_{L} \bm{A} \cdot d\bm{r} =0$ とは言えないということです．このため， 線積分も経路によることになります ．

$\ointop \limits_{L} \bm{A} \cdot d\bm{r} =c \ (\ne 0) \tag{2}$

$\int_{M_{0}}^{M_{1}} \bm{A} \cdot d\bm{r} \ depends \ on \ the \ path \ from \ M_{0} \ to \ M_{1} \tag{3}$

この場合，一価関数のポテンシャル関数から流れ場を与えることは不可能です．線積分が経路によるため，単連結の場合のように，単純に $\int_{M_{0}}^{M_{1}} \bm{A}\cdot d\bm{r}= \phi (M_{1}) - \phi (M_{0})$ とは出来ないからです．例えば，次図のような状況で線積分 $\int \limits_{l_{1}+l_{2}} \bm{A}\cdot d\bm{r}$ を考えてみましょう．

$\int \limits _{l_{1}+ l_{2}} \bm{A}\cdot d\bm{r} \ne \int \limits _{l_{1}+L+l_{2}} \bm{A}\cdot d\bm{r} = \int \limits _{l_{1}+ l_{2}} \bm{A}\cdot d\bm{r} + \ointop \limits _{L} \bm{A}\cdot d\bm{r} = \int \limits _{l_{1}+ l_{2}} \bm{A}\cdot d\bm{r} + C_{L} \tag{4}$