スカラー関数の線積分

この記事では，線積分という積分を勉強します．次の記事以降ではベクトルの線積分を考えますが，まず線積分という計算になれるためにスカラーを線積分するところから始めようと思います．解析学的な立場で厳密に考えることはしません．あくまで，直観的なイメージ重視でいきます．

線積分

高校で最初に積分を習ったとき，次図のようなイメージを使った人が多いかと思います．

変数の各点で定義される関数 f(x) の値に $\Delta x$ を掛け，この微小面積をの全範囲に渡って足し合わせた量を考えます．図では，短冊状の長方形領域が幾つか描かれていますが，この幅を極限まで狭くし，かわりに無限に多くの短冊状領域を考えた極値的が $\int_{x_{1}}^{x^{2}} f(x)dx$ という量になります．動的なイメージとしては，この積分は変数が軸という 直線の上 を $x_{1}$ から $x_{2}$ まで動くとき，時々刻々 f(x) の値を足していった総和が積分だと考えても良いでしょう．ここまでは，高校数学の復習です．

さて，二変数関数 f(x,y) を積分するときも要点は全く同じで，各点 (x,y) で定義される関数 f(x,y) の値を全範囲に渡って足し合わせることを考えますが，『とがどう動くか』という点について，もう少しよく考えないといけません．一変数の場合は変数の動き方は一次元的で， 積分区間 と呼べるものでしたが，二変数の場合，変数 x,y が平面上でどのような領域を動くのかを考えないといけません．積分領域は平面上で何か平面図形になるでしょう．例えば，次図は積分領域が長方形の場合のイメージ図です．各点 (x,y) で定義される関数 f(x,y) の値に $\Delta x \Delta y$ を掛けた四角柱の体積を，全体に渡って足し合わせるイメージです．|064cb6fda6922748c28e702d89c98984| , $\Delta y \rightarrow 0$ の極限を取り，その代わりに無限に多くの四角柱を考えることにすれば，積分 $\int \int f(x,y)dxdy$ を得ます．

今のような話は，重積分を勉強したことがある人は知っていると思います．また，積分領域が曲線である積分を 線積分 と呼びます．線積分は，最初の短冊型領域の面積を足していくイメージで考えれば良いですが，短冊型領域を考えるのは直線上ではなく曲線上になります．

曲線を，関数を f(x,y) として，線積分は次のように表わされます．を曲線の微小な弧の長さとすると， f(x,y)ds が微小短冊型領域の面積になります．（については空間曲線と接線の方程式を参照してください．）

$\intop \limits_{C} f(x,y) ds \tag{1}$

もし，が空間曲線なら三変数で次のようになります．

$\intop \limits_{C} f(x,y,z) ds \tag{2}$

[*]	四次元以上の線積分を考えることはあまりありませんが，同じように変数を増やすことで何次元にでも拡張できます．

弧長パラメーターに関して，デカルト座標系なら $ds = \sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ と書けて，ベクトル表示で $d\bm{s}= \bm{e_{x}}dx+\bm{e_{y}}dy+\bm{e_{z}}dz$ のように表わすことも可能です．普通は $d\bm{s}$ とか書かずに $d\bm{r}$ と書きます．線積分をベクトル表示にすれば，以下のようになります．

$\intop \limits_{C} f(x,y,z) d\bm{r} = \bm{e_{x}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz \tag{3}$

線積分の計算

実際に線積分を計算するときには，積分経路となる曲線の方程式が必要です．例えば，曲線が f(x,y,z)=0 の形で与えられるとき，この曲線に沿って x,y,z がどう動くのかを記述するのはかなり面倒です（方程式を解くのと同じ手間がかかります．）．もし，曲線がパラメーター表示できるなら，『曲線上を点 $M_{1}$ から $M_{2}$ まで動く』という条件を『パラメーターがからまで動く』のように言い換えることができ，実質的に一変数の積分にまで問題を簡単化することが出来ます．パラメーター表示がお薦めです．

$\bm{e_{x}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) dx + \bm{e_{y}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) dy + \bm{e_{z}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) dz= \bm{e_{x}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dx}{dt}dt + \bm{e_{y}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dy}{dt}dt + \bm{e_{z}}\intop \limits_{C} f(x,y,z) \frac{dz}{dt}dt \tag{4}$

練習問題１

曲線 $C: \ (x,y,z)=(a\cos t,a\sin t, bt)$ に沿って，関数 f(x,y,z)=x^2 + 2y +z の線積分 $\intop \limits _{C} f(x,y,z)ds$ を求めて下さい．はから $\pi$ まで動くものとします．

ヒント：まず，をだけで表わしましょう．そして $\frac{ds}{dt}dt$ を求めましょう． $ds=\sqrt{dx^2 + dy^2 + dz^2}$ を使ってください．

練習問題２

曲線 $C: \ (x,y,z)=(t,t^{2},t^{3}) \ (0 \le t \le 1)$ に沿って，関数 f(x,y,z)=xyz の線積分 $\int \limits _{C} f(x,y,z)d\bm{r}$ を求めて下さい．

ヒント：まず，をだけで表わしましょう．成分毎に $\frac{dx}{dt}dt$ , $\frac{dy}{dt}dt$ , $\frac{dz}{dt}dt$ を求めてください．

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