色々な線積分

ここまでに，スカラー関数の線積分と，ベクトル場の曲線に沿った線積分を考えました．

\intop \limits _{L} fds \tag{1}
\intop \limits _{L} fd\bm{r} = \bm{e_{1}}\intop \limits _{L} fdx_{1} +\bm{e_{2}} \intop \limits _{L} fdx_{2} +\bm{e_{3}} \intop \limits _{L} fdx_{3} \tag{2}
\intop \limits _{L} \bm{A}\cdot d\bm{r} = \intop \limits _{L} A_{1}dx_{1}+A_{2}dx_{2}+A_{3}dx_{3} \tag{3}

ベクトル場の線積分には，他の形もあります．式 (3) は，積分の中身が内積の形になってものでしたが，線積分というのは，曲線に沿った積分領域を考えるということであって，被積分関数には色々あって良いのです．三次元ベクトルで基本的な演算には，内積の他にスカラー積と外積がありましたから，以下のような線積分を考えることもできます．

\intop \limits _{L} \bm{A} ds = \bm{e_{1}} \intop \limits _{L} A_{1} ds+\bm{e_{2}} \intop \limits _{L} A_{2} ds+\bm{e_{3}} \intop \limits _{L} A_{3} ds \tag{4}
\intop \limits _{L} \bm{A} \times d\bm{r} = \bm{e_{1}} \intop \limits _{L} (A_{2}dx_{3}-A_{3}dx_{2}) +\bm{e_{2}} \intop \limits _{L} (A_{3}dx_{1}-A_{1}dx_{3})+\bm{e_{3}} \intop \limits _{L} (A_{1}dx_{2}-A_{2}dx_{1}) \tag{5}

ポテンシャルという概念との相性の良さからか，物理の問題によく出て来るベクトル場の線積分の多くは式 (3) の内積形ですが，この際，線積分には他にも色々あることをまとめて覚えてしまいましょう．一度に並べて眺めてみると，数学的には見通しが良くなると思います．

[*]上記の 5 つで，スカラーとベクトルの組み合わせとして『スカラー \cdot スカラー』『スカラー \cdot ベクトル』『ベクトル \cdot ベクトル』『ベクトル \cdot スカラー』『ベクトル \times ベクトル』を網羅していることを確認してください．『ベクトル \otimes ベクトル』なんていうのを知っている人もいるかも知れませんね．実際，そんな量の線積分を考えることも出来ます．いろいろあります．

線積分の計算

既に スカラー関数の線積分 で触れましたが，積分区間（つまり曲線）をパラメーター表示すると，実際の計算は簡単になります．合成関数の微分公式を使いましょう．

\intop \limits _{L} fds = \intop \limits _{L} f \frac{ds}{dt}dt
\intop \limits _{L} fd\bm{r} = \intop \limits _{L} f \frac{d\bm{r}}{dt}dt
\intop \limits _{L} \bm{A}\cdot d\bm{r} = \intop \limits _{L} \left( \bm{A}\cdot \frac{d\bm{r}}{dt} \right) dt
\intop \limits _{L} \bm{A} d\bm{s} = \intop \limits _{L} \bm{A} \frac{d\bm{s}}{dt}dt
\intop \limits _{L} \bm{A} \times d\bm{r} = \intop \limits _{L} \left( \bm{A} \times \frac{d \bm{r}}{dt} \right) dt

練習問題

ベクトル場 \bm{A}=x\bm{e_{x}}+ 2(x+z)\bm{e_{y}}+y\bm{e_{z}} を，始点を (0,0,0) ，終点を (1,2,2) とする線分に沿って線積分します．次の値を計算して下さい．

  1. \intop \limits _{C} \bm{A} ds
  2. \intop \limits _{C} \bm{A} \cdot \bm{r}
  3. \intop \limits _{C} \bm{A} \times \bm{r}

こたえ：（１） \frac{3}{2}\bm{e_{x}}+9\bm{e_{y}}+3\bm{e_{z}} （２） \frac{17}{2} （３） 4\bm{e_{x}}-2\bm{e_{z}}