多変数の変数系の微分の逆変換

皆さんは,極座標つまり (x,y)(r , \theta) の変換行列(ヤコビアン)を見て [*]

[*]r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x) ですね.
\dfrac{\partial r}{\partial x} \neq (\dfrac{\partial x}{\partial r})^{-1} \tag{1}

であることに戸惑った経験はありませんか?

そういうことができるのは,どんな時なのかということについて調べてみました.

具体例(2次元極座標)

x = r \cos \theta, y = \sin \theta \tag{2} r= \sqrt{x^2+y^2}, \theta = \tan^{-1}(y/x) \tag{3}

の微分形式を考えてみます.

\begin{pmatrix}d r \\d \theta\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial r}{\partial x} & \dfrac{\partial r}{\partial y} \\\dfrac{\partial \theta}{\partial x} & \dfrac{\partial \theta}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d x \\d y\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} & \dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \\\dfrac{-y}{x^2+y^2} & \dfrac{x}{x^2+y^2}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d x \\d y\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\cos \theta & \sin \theta \\-\sin \theta /r & \cos \theta /r\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d x \\d y\end{pmatrix} \tag{4}

そして逆変換は,

\begin{pmatrix}d x \\d y\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d r \\d \theta\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}\cos \theta & -r \sin \theta \\\sin \theta & r \cos \theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}d r \\d \theta\end{pmatrix} \tag{5}

ですね.確かに,

\dfrac{\partial r}{\partial x} = \cos \theta \neq (\cos \theta)^{-1} = (\dfrac{\partial x}{\partial r})^{-1} \tag{6} \dfrac{\partial \theta}{\partial y} = \cos \theta/r \neq (r \cos \theta)^{-1} = (\dfrac{\partial y}{\partial \theta })^{-1} \tag{7}

と逆関数の微分法は成り立っていないようです.

一般論

ここで,一般的な場合に拡張して関係を調べてみましょう.変数同士の変換行列のランクを落とさないと仮定して, 二対二組 (a,b),(x,y) の変数間の変換を考えます.

\begin{pmatrix}da \\db\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial a}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial y} \\\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial b}{\partial y}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}dx \\dy\end{pmatrix} \tag{8}

という関係が成立していたとすると,仮定より, 上式の行列は逆を持ちます.すると,

\begin{pmatrix}dx \\dy\end{pmatrix} &=\dfrac{1}{\dfrac{\partial a}{\partial x}\dfrac{\partial b}{\partial y}-\dfrac{\partial b}{\partial x}\dfrac{\partial a}{\partial y}}\begin{pmatrix}\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\partial y} \\-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}da \\db\end{pmatrix} \\&\equiv J^{-1} \begin{pmatrix}\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\partial y} \\-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial x}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}da \\db\end{pmatrix} \tag{9}

となります.ここで記号 \equiv はこれでヤコビアン J を定義するという意味です.

これと,

\begin{pmatrix}dx \\dy\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\partial b} \\\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\partial b}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}da \\db\end{pmatrix} \tag{10}

と比較します.すると,

J^{-1} \begin{pmatrix}\dfrac{\partial b}{\partial y} & -\dfrac{\partial a}{\partial y} \\-\dfrac{\partial b}{\partial x} & \dfrac{\partial a}{\partial x}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial a} & \dfrac{\partial x}{\partial b} \\\dfrac{\partial y}{\partial a} & \dfrac{\partial y}{\partial b}\end{pmatrix} \tag{11}

という関係が成立します.

再び極座標

さて,得られた結果の検証をしてみましょう. (a,b,x,y) \to (r,\theta,x,y) とすると,

まず,式 (4) より,

J = (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)/r = 1/r \tag{12}

となります.はたして,等式は成り立つのでしょうか?式 (11) の右辺は,

J^{-1} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial \theta}{\partial y} & -\dfrac{\partial r}{\partial y} \\-\dfrac{\partial \theta}{\partial x} &  \dfrac{\partial r}{\partial x}\end{pmatrix}&=r \begin{pmatrix}\cos \theta/r & - \sin \theta \\\sin \theta/r & \cos \theta\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}\cos \theta & - r \sin \theta \\\sin \theta & r \cos \theta\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} \\\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta}\end{pmatrix} \tag{13}

見事,成り立ちましたね.変数の数を増やし一般化してまとめておくと,

Important

N変数 (x_i) からN変数 (y_i) への変換はランク落ちしない限り,変換行列の逆行列を考えることによって, 逆変換が得られる.なお,この時には一般に \dfrac{dy_i}{dx_j}= (\dfrac{dx_j}{dy_i})^{-1} は成立しない.

では,熱力学でよく使われる変数の微分形はどうなのでしょう?

いよいよ熱力学の話

なじみがあると思われる式から始めましょう.

dU = TdS -pdV \tag{14}

この式は,一変数 U に対し,二変数 S,V の関数となっています.

熱力学では,等温過程,等圧過程,定積過程,断熱過程など様々な経路を指定して, その種々の量を計算するのでした.つまり,それは二変数の自由度を持っていた関数形に, 例えば,エントロピー S の任意の関数 g(S) を用いて,

dV = g(S)dS \tag{15}

などの変化方向に制限をつけることになります.すると,なんと,

dU &= \left( \dfrac{\partial U}{\partial S} \right)_V dS + \left( \dfrac{\partial U}{\partial V} \right)_S dV \\&= TdS -pdV \\&= TdS -pg(S)dS \\&= (T-pg(S))dS \tag{16}

より,

\dfrac{dU}{dS} &= (T-pg(S)) \\&= (\dfrac{dS}{dU})^{-1}\tag{17}

となり,お馴染みのインバース(逆数)の関係が出てきました.

もう一言付け足すとすれば,等積過程 dV=0 の場合, g(S)=0 であり,

(\dfrac{dU}{dS})_V = (\dfrac{\partial U}{\partial S})_V = T = (\dfrac{\partial S}{\partial U})_V^{-1}=(\dfrac{dS}{dU})_V^{-1}

となります.これはお馴染みの関係ではないでしょうか? これもまたまとめておきます.

Important

熱力学的関係式に於いて,ピストンの変化軌道を決定したら,1変数 x から1変数 y への変換となる.その変換が ランク落ちしない限り,変換の同じ過程(制限)の逆を考えることによって, 逆変換が得られる.なお, この時には \dfrac{dy}{dx}= (\dfrac{dx}{dy})^{-1} は成立する.

つまり

今考えている変換が,一変数対一変数の時のみ逆数の関係が成立し, 多変数同士の変換では,変換行列の逆行列が正しい逆を与えるということのようです. 今日はこの辺で,お疲れ様でした.