ボイル-シャルルの法則の導出

ここでは，ボイルの法則とシャルルの法則からボイル-シャルルの法則を導く方法を，具体的に説明し たいと思います．

大まかな方法

最初に，導出方法をおおまかにお話します．次の図をご覧ください．

tomi-boylecharle-fig2.png

ボイル-シャルルの法則を導く際，図中の三状態， A，B，C間の移動を考えます．つまり，まず 圧力を一定に保ったまま AからBへ移動 し，次に 温度を一定に保ったまま BからCへ移動する，という手法をとるのです．勘の良い方ならもうお分かりですね！ 気体の三法則 の中でお話ししたように，「圧力を一定に保った時」成立するのは シャルルの法則 ，「温度を一定に保った時」成立す るのは ボイルの法則 です．ということは，これらの法則を順に適用していけば，ボイル-シャルルの法則を導くことができるわけです！

シャルルの法則の適用

では実際に導出していきましょう．上図の状態Aの時の気体の体積と温度をそれぞれ V_{A},T_{A} ，状態Bの時の気体の体積と温度をそれ ぞれ V_{B},T_{B} とします．ここで T_{i}(i=A,B) は 絶対温度 です．気体の状態が圧力を一定に保ったままAからBに移動するので， シャルルの法則より

\frac{V_{A}}{T_{A}}=\frac{V_{B}}{T_{B}}

すなわち

V_{B}=V_{A}\frac{T_{B}}{T_{A}} \tag{1}

が成り立ちます．

ボイルの法則の適用

次に，状態Bの時の気体の圧力を P_{B} ，状態Cの時の気体の圧力と体積をそれぞれ P_{C},V_{C} とします．気体の温度を一定に保っ たままBからCに移動するので，ボイルの法則より

P_{B}V_{B}=P_{C}V_{C} \tag{2}

が成り立ちます．

ボイル-シャルルの法則へ

いよいよボイル-シャルルの法則を導出します．式(1)を式(2)に代入してみましょう．すると，

P_{B}V_{A}\frac{T_{B}}{T_{A}}=P_{C}V_{C}

となります．これを整理すると，

\frac{P_{B}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{B}} \tag{3}

となります．状態AからBへの移動では，圧力が一定なので P_{A}=P_{B} ，状態BからCへの移動では，温度が一定なので T_{B}=T_{C} です．これらを式(3)に代入すると，

\frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{C}} \tag{4}

が得られます．状態Aも状態Cも共に状態のある一点なので， P_{i},V_{i},T_{i}(i=A,C) はそれぞれ，ある特定の値であることがお分か りいただけると思います．ゆえに式(4)は

\frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{C}}=Const. \tag{5}

となります．(ここで Const. とは定数(constant)を表します)．この定数を R とおくと [*] 式(5)は

\frac{P_{A}V_{A}}{T_{A}}=\frac{P_{C}V_{C}}{T_{C}}=Const.=R \tag{6}

となり，式(6)は任意の状態の圧力 P ，体積 V ，(絶対)温度 T について

\frac{PV}{T}=Const.=R \tag{7}

が成り立っていることを表します．式(7)より，

PV=RT \tag{8}

とすることができます．式(8)は，ボイル-シャルルの法則，そのものですね！これで無事，導出が完了したことがわか ります．

[*]この R は， 気体定数 と呼ばれるものです．気体定数の値を定める時，扱う気体の量は 1モル であることが決まっています．詳しくは，関連記事 気体定数 をご覧ください．