熱エネルギーとボーズ粒子数

講義ノートを見ていて簡潔な表現に感動しました. 短い記事です.

角振動数 \omega (一粒子あたりエネルギー \hbar \omega )のフォノン数を N ,体積を V とした時,おそらくフォノン濃度というものは \langle n \rangle=\dfrac{N}{V} で表されます.
(もしかしたら違うかもしれません.ノートにはただ「フォノン濃度」とだけあります.)

フォノンというものはボーズ粒子ですので,ボーズ・アインシュタイン分布に従います. つまり,温度 T として,

\langle n \rangle = \dfrac{1}{e^{\frac{\hbar \omega}{k_B T}}-1} \tag{1}

が成立します.ここで,ある程度高温 k_B T >> \hbar \omega を満たす時には,

\langle n \rangle = \dfrac{k_B T}{\hbar \omega} \tag{2}

となります.これはつまり,十分に熱が高い時,熱はエネルギー k_B T をフォノンに与える, と読むことができます.「熱の特徴的なエネルギー」 k_B T にいくつフォノンエネルギー \hbar \omega が入るかを表しているわけです.さらに言えば,フォノン数は温度 T に比例することは覚えておいて損はありません. また,この議論はボーズ分布がさまざまなボーズ粒子に共通の性質のため,例えばフォトンにも適用できそうです.

勉強になりました.先生,ありがとうございました.それでは,今日はこの辺で. お疲れ様でした.