ブラケット法のx表示とは

簡潔にブラケット法でのx表示について書きます.

波動関数のケット | \psi \rangle に対して, \langle x^\prime | を 左から掛けると,

\langle x^\prime | \psi \rangle = \psi(x^\prime) \tag{1}

になるのです.色々理解しようとしたのですが,なかなか難しかったです.

演算子xとは

基本に戻りましょう.演算子 \hat{x} の固有値方程式

\hat{x} | x \rangle = x | x \rangle \tag{2}

がケット | x \rangle の定義です.理解としては,どうやらこれらに関しては, イメージを日本語で表すべきもののようだ.という結論です.

その | x \rangle のイメージとは,位置 x に局在する関数で規格化されている波動関数である. というものです.そして \langle A | B \rangle は波動関数 | B \rangle の中に, \langle A | の成分は どの位入っているだろうか?ということを思い出すと,

\langle x^\prime | x \rangle = \delta(x^\prime - x) \tag{3}

は納得いく式ではないでしょうか.位置 x に局在する波動関数には,位置 x^\prime に局在する 成分はどの位入っているだろうか?ということです. x^\prime = x の時には無限に多く含まれているということ であり, x^\prime \neq x の時は全く入っていないということです.

波動関数ψ

同様に \langle x^\prime | \psi \rangle も考えると, 波動関数 \psi には,どれだけ位置 x^\prime の成分が入っているだろうか?ということです. だから, x = x^\prime の時の値 \psi(x^\prime) になるわけです.

今日はここまで,お疲れさまでした!