グリーン関数を理解しよう(ダイソン方程式と自己エネルギー)

これからいくつかの記事を通して，物性物理で扱われる絶対零度におけるグリーン関数の理解を目指します．いくつかの定理などの証明は省略して，要点の俯瞰をする方針で行きます．参考文献として，下に書くMahan先生の本を挙げておきます．このシリーズでは $\hbar=1$ とします．前の記事はファインマンダイアグラムです．次の記事はフォトンのグリーン関数です．( 目次 )

自己エネルギー

グリーン関数の通常のフーリエ変換を

$G(\bm{p},E) = \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} G(\bm{p},t-t^\prime)\tag{1}$

とすると，自由なグリーン関数のフーリエ変換は空バンドの場合は

$G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \delta}\tag{2}$

縮退した電子ガスの場合は

$G^{(0)}(\bm{p},E) = \dfrac{1}{E-\varepsilon_{\bm{p}}+i \delta_{\bm{p}}}\tag{3}$

でした．

さて，電子はその位置を移動して時間発展する時に，自分自身と様々な相互作用を常にしています．相互作用がない時が自由なグリーン関数なのです．その相互作用を考慮したグリーン関数 $G(\bm{p},E)$ を自由なグリーン関数 $G^{(0)}(\bm{p},E)$ と自己エネルギー $\Sigma(\bm{p},E)$ のシンプルな式で表せる．という事を示すのがこの記事の目的です．自己エネルギーは摂動論的アプローチで無限次まで足すことで求められます．主要部分が低次から数項で良い近似になっているときは良いのですが，悪い時はアプローチ方法を変えなければなりません．

表したい $G(\bm{p},E)$ を確認しておきましょう．

$G(\bm{p},E) &= -i \sum_{n=0}^\infty (-i)^n \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n \\&\times \ _0 \langle | T \hat{C}_{\bm{p}\sigma}(t) \hat{C}^\dagger_{\bm{p}\sigma}(t^\prime) \hat{V}(t_1) \cdots \hat{V}(t_n) | \rangle_0 \ \ \ (\rm{different \ connected})\tag{4}$

自由なグリーン関数で表した二次の項までの展開は，

$G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \int_{-\infty}^\infty dt_2 \\&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) \tag{5}$

ここで， $D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2)$ に逆フーリエ変換を用います．

$D^{(0)}(\bm{q},t) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega t} D^{(0)}(\bm{q},\omega)\tag{6}$

よって，

$D^{(0)}(\bm{q},t_1-t_2) = \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega (t_1-t_2)} D^{(0)}(\bm{q},\omega)\tag{7}$

だから，

$G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t^\prime)} \int_{-\infty}^\infty dt_1 \cdots \int_{-\infty}^\infty dt_n \\&\times G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\&\times G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} e^{-i \omega (t_1-t_2)} D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 \\&\times \int_{-\infty}^\infty dt e^{iE(t-t_1)} G^{(0)}(\bm{p},t-t_1) \\&\times \int_{-\infty}^\infty dt_1 e^{i(E-\omega)(t_1 - t_2)} G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},t_1-t_2) \\&\times \int_{-\infty}^\infty dt_2 e^{iE(t_2-t^\prime)} G^{(0)}(\bm{p},t_2-t^\prime) D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\&= G^{(0)}(\bm{p},E) + i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}| G^{(0)}(\bm{p},E)^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E - \omega) D^{(0)}(\bm{q},\omega) \\ \\&= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E)^2 \ i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E - \omega) D^{(0)}(\bm{q},\omega)\tag{8}$

ここで，

$\Sigma^{(1)}(\bm{p},E) = i \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E - \omega) D^{(0)}(\bm{q},\omega)\tag{9}$

であり，これを１フォノン過程の自己エネルギーと言います．数式的には，外線の無いグリーン関数であり，自己との相互作用部分と言えるでしょう．

図１

次の摂動項である２フォノン過程の自己エネルギーを示すと，

図２(a)

これは，

$- \Sigma^{(1)}(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma^{(1)} (\bm{p},E)\tag{10}$

です．

図２(b)

は，

$\Sigma^{(2b)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega^\prime}{2 \pi} \sum_{q,q^\prime} |M_{\bm{q}} M_{\bm{q}^\prime}|^2 D^{(0)}(\bm{q},\omega) D^{(0)}(\bm{q}^\prime,\omega^\prime) \\&\times G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q}-\bm{q}^\prime,E-\omega-\omega^\prime) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q}^\prime,E-\omega^\prime)\tag{11}$

であり，

図２(c)

は，

$\Sigma^{(2c)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega^\prime}{2 \pi} \sum_{q,q^\prime} |M_{\bm{q}} M_{\bm{q}^\prime}|^2 D^{(0)}(\bm{q},\omega) D^{(0)}(\bm{q}^\prime,\omega^\prime) \\&\times G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q}-\bm{q}^\prime,E-\omega-\omega^\prime) G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega)\tag{12}$

となります．

図２(d)

ここで，時間に逆行している(左から右に時間は流れる)電子線がありますが，これはホールもしくは陽電子です．つまり， t_2 で起こった電子と陽電子が対生成と t_3 で対消滅をし，それが外線電子に影響を及ぼすと言う事です．

$\Sigma^{(2d)}(\bm{p},E) &= - \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega}{2 \pi} \sum_{q} |M_{\bm{q}}|^4 D^{(0)}(\bm{q},\omega)^2 G^{(0)}(\bm{p}-\bm{q},E-\omega) \\&\times \int_{-\infty}^\infty \dfrac{d \omega^\prime}{2 \pi} G^{(0)}(\bm{k},\omega^\prime) G^{(0)}(\bm{k}-\bm{q},-\omega + \omega^\prime)\tag{13}$

同時刻での電子，フォノン，陽電子の運動量和(反粒子はマイナス倍を足す)は常に一定であることを注意してください． (式 (14) では $t^\prime < t_1 < t_2 < t_3 < t_4 < t$ としています．)

$\bm{p} &= (\bm{p} - \bm{q}) + \bm{q} \\&= (\bm{p} - \bm{q}) - (\bm{k}- \bm{q}) +\bm{k} \\&= (\bm{p} - \bm{q}) + \bm{q} \\&= \bm{p}\tag{14}$

ここまでの近似で $G(\bm{p},E)$ を表すと，

$G(\bm{p},E) = G^{(0)}\left( 1 + G^{(0)}[ \Sigma^{(1)} + \Sigma^{(2b)} + \Sigma^{(2c)} + \Sigma^{(2d)}]+[G^{(0)} \Sigma^{(1)}]^2 + \cdots \right)\tag{15}$

これを続けていくと，自己エネルギーは

$\Sigma(\bm{p},E) = \sum_{j} \Sigma^{(j)}\tag{16}$

となります．

ダイソン方程式

ここで，テイラー展開

$\dfrac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + \cdots\tag{17}$

を利用すると，無限回の相互作用の繰り返しを挿入した式がなので，

$G(\bm{p},E) &= G^{(0)}(\bm{p},E) + G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \\&+ G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E) G^{(0)}(\bm{p},E) \cdots \\&= \dfrac{G^{(0)}}{1 - G^{(0)}(\bm{p},E) \Sigma(\bm{p},E)}\tag{18}$

となります．これがダイソン方程式です．