波動関数の規格化

規格化とは

1次元空間中の1個の粒子の運動を表す波動関数 ψ(x,t) は，粒子そのものではなく，多数の実験を行った場合に粒子が見出される確率を表します．波動関数は文字どおり波ですが，粒子が観測されるのはあくまで点としての場所でだからです．

波動関数 ψ(x,t) は一般に複素数の値をとりますが，その絶対値

$\displaystyle \vert\psi(x,t)\vert^2 = \psi^*(x,t)\,\psi(x,t)$

は正の実数になり

$\displaystyle \vert\psi(x,t)\vert^2dx$

は時刻 t に粒子を位置 x の微小領域 dx に見出す確率を表します．そのため，通常

$\displaystyle \langle \psi\vert\psi \rangle = \int \vert\psi(x,t)\vert^2dx = 1$

となるようにしておきます．なんでかと言うと，確率とは全部の場合を足し合わせると 1 になるように定義してあるものだからです．この手続きを規格化といいます．

波動関数の規格化を行うためには，まず全空間で波動関数を積分します．その値が a であったとしましょう．

$\displaystyle \int \vert\psi(x,t)\vert^2dx = a$

これを規格化するには両辺を a で割ればいいことになります．

$\displaystyle \frac{1}{a}\int \vert\psi(x,t)\vert^2dx = 1$

これは

$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{a}}\psi^*(x,t)\,\frac{1}{\sqrt{a}}\psi(x,t)~dx = 1$

と同じことですから，結局，全空間での積分値のルート分の1を波動関数に掛けたものが規格化された波動関数だということになります．

規格化された波動関数： $\displaystyle ~\frac{1}{\sqrt{a}}\psi(x,t)$ （a は全空間での |ψ|² の積分値）