内積と正規直交系

量子力学を始めるにあたっての準備をしましょう．まずは「内積」と「正規直交系」です．内容を学ぶとともに，名称も覚えてください．

内積とは

波動関数 $\phi(\bm{r}, t), \psi(\bm{r}, t)$ について，

$\int_{V}d\bm{r}(\phi(\bm{r}, t))^{*}\psi(\bm{r}, t)$

を内積と言い，

$(\phi(\bm{r}, t), \psi(\bm{r}, t))$

と書きます（は全空間）．内積がになるとき，互いの波動関数は「直交する」といいます．波動関数が直交するということは，一方の波動関数をもう一方の波動関数を使って表すことができない「独立な」状態であることを意味します．

波動関数の組 $\phi_n$ があって，これに属する波動関数

$\phi_1, \phi_2, \cdots, \phi_n, \cdots$

が，すべて規格化されていて，それぞれが互いに直交するとき，この波動関数の組は「正規直交系をなす」といいます．