この記事では,スピン3/2粒子の固有状態を求めます.
角運動量演算子 の良く知られた関係
となります.この式の導出には,例えば,下記の小出昭一郎先生の本を参照してください.
これを として行列で書くと,
となります.ここで, , の関係から,
です.任意の方向 を向いたスピノールは,
として, 行列の固有値問題
を満たすスピノールの事になります. この固有値 を求めるのに, の行列式を求めることは必要ありません. 固有値は任意の方向を向いていても,対称性が同じなので
より,
と分かります.
さて, を書いておきましょう.
一般に固有値問題は根底にあるのは連立一次方程式なので,解けないことはありませんが, 美しい対称性を持った形を求めるのは,何らかの工夫がいります. 第一成分 の決定でその後の値が決まるのです.
今回のキーとなるのは,あまり論理的ではないのですが, 3つのスピン 粒子のスピンの合成では,テンソル積が 出てきて,それは この成分を持つものの第一成分は を持っているという知識でした.なお,そのスピン1/2のスピノールは,
と
です.(拙記事 任意の方向を向いたスピンのxyz方向固有状態での展開 及び 交換相互作用と任意の方向を向いた二電子スピン 参照)
すると, に対して,この第一成分は確かに良い対称性を持っており,
が求まりました.これはスピン の粒子が 方向に対して,その方向の成分が である解を表しています.
同様に 〜 の解は,
となります.この固有ベクトルと の積を計算してみて,確かに固有ベクトルであることを確認すると良いでしょう.興味深いのは,これらのスピノールは の回転を行っても スピノールと同様に符号が反転し,スピンの二価性が容易に見て取れるところです.それでは今日はここまで,お疲れさまでした.