速度vの位置xでの微分

(自由粒子の)運動エネルギーを求める際， `

\int m \ddot{x} dx &= \int m \ddot{x} \dot{x} dt \\&= \dfrac{m}{2} \dot{x}^2 + C \tag{1}

としますよね．ここで疑問を見つけました．

\dfrac{d}{dx} \left( \dfrac{m}{2} \dot{x}^2 + C \right) ?= m \ddot{x} \tag{2}

と言う計算が成立するのでしょうか？結果はその通りのようです．と言うわけで，今回は微分のお話です．

定義に基づいた微分の計算

とりあえず，鎖の規則で式(2)を簡単にしておきましょう．

(Yoshiki) &= \dfrac{d}{d \dot{x}} \left( \dfrac{m}{2} \dot{x}^2 + C \right) \dfrac{d \dot{x}}{dx} \\&= m \dot{x} \dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} \tag{3}

ここで思うことは一つでしょう． \dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} ってなんじゃい！？僕は最初これを見て， dx が打ち消し合って，微分演算子 \dfrac{d}{dt} になるのかな？と思いました．しかし，それは全くの見当はずれだったのです．こういう時，定義に戻って微分を考えることは大切です． \lim を書きませんが，混乱はないものと思われます．テイラー展開 x(t+dt)=x(t)+\dot{x}(dt) を使います．

\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} &= \dfrac{\dfrac{x(t+2dt)-x(t+dt)}{dt} - \dfrac{x(t+dt)-x(t)}{dt}}{x(t+dt)-x(t)} \\&= \dfrac{x(t+2dt) - 2x(t+dt) + x(t)}{(dt)(x(t+dt)-x(t))} \\&= \dfrac{x(t) + \dot{x}(2dt) -2(x(t)+\dot{x}(dt))+x(t) }{\dot{x}(dt)^2} \\&= \dfrac{0}{\dot{x}(dt)^2} =0 \tag{4}

うっぷす，近似が甘かったです．では，テイラー展開の二次近似を用いましょう．

テイラー展開 x(t+dt)=x(t)+\dot{x}(dt)+\dfrac{\ddot{x}(dt)^2}{2} を使います．

\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} &= \dfrac{x(t+2dt) - 2x(t+dt) + x(t)}{(dt)(x(t+dt)-x(t))} \\&= \dfrac{ \{ x(t) + \dot{x}(2dt) + (1/2)\ddot{x}(2dt)^2 \} -2 \{ x(t)+\dot{x}(dt)+(1/2)\ddot{x}(dt)^2 \} + x(t) }{\dot{x}(dt)^2} \\&= \dfrac{2 \ddot{x}(dt)^2 - \ddot{x}(dt)^2}{\dot{x}(dt)^2} \\&= \dfrac{\ddot{x}(dt)^2}{\dot{x}(dt)^2} \\&= (\ddot{x}/\dot{x}) \tag{5}

なるほど，こうなりましたか，式(3)に代入して計算を確かめましょう．

(Yoshiki) &= m \dot{x} \dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} \\&= m \dot{x} (\ddot{x}/\dot{x}) \\&= m \ddot{x}\tag{6}

おお，これは正に式(2)の右辺ですね．

と言うわけで，今回の成果は，

\dfrac{d \left( \dfrac{dx}{dt} \right) }{dx} &= (\ddot{x}/\dot{x}) \\&= \dfrac{\dfrac{d \dot{x}}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \tag{7}

です． dx を約分するのはダメでしたが， 1/dt を挿入する事ならOKのようです．ある意味で「ロピタルの定理」ですね．今日はここまで，お疲れ様でした．