単振動　〜等速円運動の射影〜

単振動 [*] は，物理学のいろいろな場面で登場する重要な運動です．ばねの運動で登場したり， 振り子の運動で登場したり，はたまた電気振動なんていうものもあります． 以下では，等速円運動の射影として単振動を紹介し，速度や加速度についてもみていきます． 等速円運動 についてまだ学習していない人は，そちらからご覧下さい．

[*]「単振動」という表現の他に，「調和振動」という表現もよく使います．「単振動」と「（1次元）調和振動」は同じものを指します．また，「調和振動子」と言った場合には，振動しているもの（振動の性質をもつもの）を指します．

単振動は等速円運動の射影だ

半径 A の円周上を運動する 等速円運動 を考えます．分かりやすいように， x-y 平面状に原点を中心とする 半径 A の円を描いておきます．物体は時刻 t=0 のとき点 (A, 0) を出発して，角速度 \omega で運動します．

tomo-shm-fig1.png

この等速円運動について， y 軸への射影を考えてみましょう．時間を追って図を描くと，以下のようになります（ T は周期）．

  • t=\frac{1}{4}T
tomo-shm-fig2.png
  • t=\frac{1}{2}T
tomo-shm-fig3.png
  • t=\frac{3}{4}T
tomo-shm-fig4.png
  • t=T
tomo-shm-fig5.png

この y 軸への射影こそが，単振動だというわけです．

変位はどのように表されるか

変位 y がどのように表されるか，考えてみましょう．時刻 t=0 のとき 点 (A, 0) を出発して，角速度 \omega で運動した場合， t[{\rm s}] 後には以下のようになっているはずです．

tomo-shm-fig6.png

つまり，変位 y は，

y=A\sin \omega t

と表されることになります． A のことを「振幅」， \sin の中身（ここでは \omega t ）のことを「位相」と呼びます．

速度と加速度はどのように表されるか

単振動の速度 v_y と単振動の加速度 a_y はどのようになっているでしょうか． 図で示すと以下のようになります．速度 v ，加速度 a を，変位と同様に y 軸に射影します．

tomo-shm-fig7.png

v=A\omega を y 軸に射影して，

v_y=r\omega \cos \omega t

a=A\omega ^2 を y 軸に射影して，

a_y=-r\omega ^2 \sin \omega t

となります．また，位相の部分を \omega =\frac{2\pi}{T} （説明は 等速円運動 を参照）を用いて，

y=A\sin \frac{2\pi}{T}t
v_y=A\omega \cos \frac{2\pi}{T}t
a_y=-A\omega ^2 \sin \frac{2\pi}{T}t

と書き換えることができます． y ， v_y ， a_y を並べてグラフに描くと以下のようになります．

tomo-shm-fig8.png

補足

高等学校の物理では微積分が出てきませんが，

v_y=\frac{dy}{dt}
a_y=\frac{dv_y}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}

という関係が成り立っています．