剛体の回転シーリズ第1弾です. 次の記事は, 角運動量 です.
ベクトルは大きさと方向を持つ量ですが,もともと数学ではあまりその始点(どこから ベクトルを引くか)を区別することはありません.しかし物理では,同じベクトルでも その始点によって違う意味を持ったものになることがあります.例えば,物体に同じベクトル で表される力を加える場合でも,どこを押すかによって物体の動きが変わってくることは, 容易にイメージできるのではないでしょうか.
ここで,ベクトルのモーメント [*] について説明します.下の図のように,原点を ,点 とし,位置ベクトル で表される点 に,ベクトル があるとします.
[*] | モーメントというと,さまざまな亜種があります.力学では,モーメント(力のモーメント,トルクとも),角運動量(運動量のモーメント),慣性モーメント等があります.電磁気学では,双極子モーメント,磁気モーメント等.材料力学なんかでは,断面一次モーメント,断面二次モーメントなんていうのもあります.どれにも共通して言えるのは,ある強度と始点を問題とする位置の積で表され,採る座標系に依存している量のことのようです. |
このとき, の周りのモーメントとは,
で表されるベクトル のことです.
外積を知らない人のために少し説明しますと, このベクトルは, と を含む平面に垂直で,大きさ が のベクトルです.
成分としては, の成分を , の成分 を とした時,
完全反対称テンソル (レヴィ・チヴィタの記号とも)を用いると,簡潔に,
と書けます.ここで同じ添字を並べて書いたときには,すべての和をとると いうアインシュタインの縮約規則 [†] を用いています.
[†] | 例えば と書いたら, を表します. |
特に力学では,このベクトルのモーメントの中でも重要なものとして, トルク と,角運動量 があります.物体にかかる力 としてトルクは,
となり,角運動量は運動量 として,
で表されます.