無限小回転1

剛体の回転を勉強するとき，無限小回転という考え方が出てきます．回転角が無限に小さい回転を無限小回転と呼ぶのです．しかし，回転が無限に小さかったら，いつまでたっても全然回りませんね．どうして，こんな回転を考えるのでしょうか．潔く，グルリと回してしまったらいけないのでしょうか？回転について少し考察を深めてみようというのが，この記事の目的です．順序として，まず剛体の有限回転(回転の大きさが無視できない回転)について考えます．その後，有限回転と比較しながら，無限小回転に特有の特徴を考えます．このページを読み終わったら，そのまま無限小回転2 へ進んでください．二つ合わせて一つの内容になっています．

有限回転

まずは次の図を見てください．剛体に，右にグルリと90度倒す回転と，180度ひっくり返す回転を連続して行った様子を描いたものです．同じ回転なのに，順序を変えただけで，結果が違ってしまっています！！

このように，回転という操作は，一般的に順序を入れ替えると結果が違ってしまうのです．順序が変えられないということを，数学では『非可換である』と言います．

剛体の向きをベクトルで表すことにすると，ベクトルに回転行列を掛けることによって，ベクトルの回転，すなわち剛体の回転を表わすことができます． [*]

では，パンダの図で行った回転を，ベクトル (a,b,c) と行列を使って表現してみましょう．移動したあとのベクトルを (a',b',c') と名づけておきます．回転行列を忘れてしまった人は，この機会に回転行列を復習してみて下さい．とりあえず，回転行列を忘れてしまっていても，今この記事をざっと読むのには差し支えありません．

まずは，ベクトル (a,b,c) を軸回りに度回転させ，それから軸回りに 180 度回転させます．

$\left( \begin{array}{ccc} a' \\ b' \\ c' \\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc}\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\0 & 1 & 0 \\-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right) \\&= \left( \begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{ccc} -c \\ -b \\ -a \\ \end{array} \right) \tag{1}$

今度は先に軸回りに 180 度回転させ，しかる後に軸回りに度回転させるという回転を表してみましょう．行列の順序を入れ替えただけです．

$\left( \begin{array}{ccc} a' \\ b' \\ c' \\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{ccc}\cos 90^{o} & 0 & \sin 90^{0} \\0 & 1 & 0 \\-\sin 90^{o} & 0 & \cos 90^{0} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}\cos 180^{o} & -\sin 180^{0} & 0 \\\sin 180^{o} & \cos 180^{0} & 0 \\0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right) \\&= \left( \begin{array}{ccc}0 & 0 & 1 \\0 & 1 & 0 \\-1 & 0 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\0 & -1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{ccc} a \\ b \\ c \\ \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{ccc} c \\ -b \\ a \\ \end{array} \right) \tag{2}$

予想通り！回転の順番を変えただけで結果が違ってしまいました．数式で書くと，途端に頭が痛くなってくる人がいるかも知れませんが，どうか難しく考えないで下さい．先ほど図で見たパンダ(謎)の回転を式で表してみただけなのです．『回転は順番が大事なんだ』ということだけ頭の隅に覚えておいて下さい．細かい式は気にしなくて大丈夫です．

[*]	回転操作の非可換性は，行列の積が非可換である(行列 , に対し，一般には $AB \ne BA$ である)ことと対応しているわけです．一般に回転行列は，すべて直交行列です．直交行列とは，転置行列が逆行列になっているような行列のことでした．回転は四元数を用いて表現することもできます．四元数の積も，もちろん非可換になっています．

無限小回転

それでは，回転の角度が非常に小さいの場合を考えてみましょう．回転行列によって微小回転を表現します．の表す回転は大変に小さいので，単位行列と微小回転部分 $\varepsilon$ ( $\varepsilon$ の二次以上の積は無視できる)を用いて $A=E+\varepsilon$ と表現できるとします．では，二つの微小回転 $A_{1}$ と $A_{2}$ を連続して行うことを考えて見ましょう．

$A_{1}A_{2} = (E+\varepsilon_{1})(E+\varepsilon_{2})=E+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2} +\varepsilon_{1} \varepsilon_{2} \simeq E+\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}$

$A_{2}A_{1} = (E+\varepsilon_{2})(E+\varepsilon_{1})=E+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{1} +\varepsilon_{2} \varepsilon_{1} \simeq E+\varepsilon_{2}+\varepsilon_{1}$

行列の積は非可換でしたが，行列の和は順番を変えても良かったことを思い出してください．(一般に行列 , に対し， A+B=B+A が成り立ちます．)すると，結局 $A_{1} A_{2} =A_{2}A_{1}$ が成り立ちます．『微小回転においては，回転の順番を交換できる』と言えるわけです． [†] これはもう，回転角が大きいか小さいかというだけの問題ではありません．『可換』と『非可換』とは，数学的に，天と地ほどの違いがあるのです．"無限小回転は数学的に全く違う性質を持つのだ"と思ってください．読者のみなさんにおかれましては，どうかこの感動を，しばしゆっくりと味わって頂きたいと思います．

[†]

行列を微小量 $\varepsilon$ で表しましたが，行列が微小とはどういうことなのか，この表記について気になった方がいらっしゃるかと思います．ベクトルに行列を掛けると，一般にはその長さと角度が変化を受けますが，ここでは行列 $A=E+\varepsilon$ による変化が，長さについても角度についても，二次以上の項が無視できるほど微小なのだ，ということです． $\bm{r'}=(E+\varepsilon)\bm{r}$ と置きますと， $\delta \bm{r}=\bm{r'}-\bm{r}=(E+\varepsilon ) \bm{r}-E\bm{r}=\varepsilon \bm{r}$ と表されますので， $\delta \bm{r}\cdot \delta \bm{r} = \varepsilon^2 ( \bm{r} \cdot \bm{r})$ が成り立ちます． $\bm{r} \cdot \bm{r}$ は微小量ではありませんから，結局，『ベクトルの変化 $\delta \bm{r}$ の高次の微小量が無視できる』ということを，形式的に『行列 $\varepsilon$ の高次の微小量が無視できる』と言い換えられるわけです．

もう一度，パンダを回してみましょう．先ほどと同じ向きに回しますが，今回，回す角度をほんの少しだけにしておきます．回転の順番を変えても，結果がほとんど同じだということが見て分かります．

練習問題

次の行列 , に対し， $\theta$ , $\phi$ が二次以上の項を無視できるような微小量ならば， AB=BA が成り立つことを確認してみて下さい．

(ヒント)微小量 $\theta$ に対して $\sin \theta \simeq \theta$ , $\cos \theta \simeq 1$ を使いましょう．

$A= \left( \begin{array}{ccc}\cos \theta & -\sin \theta & 0 \\\sin \theta & \cos \theta & 0 \\0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right)$

$B= \left( \begin{array}{ccc}\cos \phi & 0 & \sin \phi \\0 & 1 & 0 \\-\sin \phi & 0 & \cos \phi\\ \end{array} \right)$

無限小回転を表す行列

一般に，回転という操作の順番を変えるわけにはいきませんが，無限小回転の場合に限って順番を変えても良い，ということでした．もう少し，このことの考察を進めてみましょう．

微小な回転によってベクトル $\bm{r}$ が $\bm{r'}$ に移されたとしましょう．このとき，上の図を見れば， $\bm{r'}=\bm{r}+\delta \bm{r}$ と書けることが分かると思います．

ベクトル $\bm{r}$ を $\bm{r'}$ に移す変換を，行列を用いて $\bm{r'}=A\bm{r}$ と表わすことにします．ベクトルの微小変化 $\delta \bm{r}$ を，行列 $\varepsilon$ を用いて $\delta \bm{r}=\varepsilon \bm{r}$ と表すことにすれば， $\bm{r'}=\bm{r}+\delta \bm{r}=(E+\varepsilon )\bm{r}$ ですから，は次のように書けるでしょう．

$A=E+\varepsilon$

この段階では，行列 $\varepsilon$ がどのような形をしているかまだよく分からないので，とりあえず成分を次のように書いておきます．未知の成分が現段階でつあることを確認しておいて下さい．

$\varepsilon= \left( \begin{array}{ccc}\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\ \end{array} \right)$

いまから行列 $\varepsilon$ の形と成分を，もう少し詳しく考えてみます．道具として使うのはの逆行列と，が回転を表す行列なので直交行列であるという性質の二つです．

まず $A=(E+\varepsilon)$ の逆行列ですが，これは $A^{-1}=(E-\varepsilon)$ です．ちょっと天下り的ですが，確かに次のようにと $A^{-1}$ を掛け合わせてみれば単位行列になることから確認できます． $\varepsilon$ の自乗が無視できることに注意して下さい．

$AA^{-1}=(E+\varepsilon)(E-\varepsilon)=E+\varepsilon-\varepsilon-\varepsilon \varepsilon = E$

一方，は回転を表す行列ですから，直交行列です．直交行列というのは，転置行列が逆行列になっているような行列のことを言うのでした．つまり $A^{t}=A^{-1}$ が成り立つはずです．( の転置行列を $A^{t}$ で表します．一般に行列の和と転置行列に関して $(A+B)^{t} = A^{t} +B^{t}$ が成り立つことを使います．ここでは，証明はしませんので，よく分からない人は線形代数を復習してみてください．) $A=(E+\varepsilon)$ の転置行列を考えてみましょう．

$A^{t}=(E+\varepsilon)^{t}=E^{t}+\varepsilon^{t}=E+\varepsilon^{t}$

よって， $A^{t}=A^{-1}$ より， $E-\varepsilon=E+\varepsilon^{t}$ が言えます．両辺からを引けば次の関係式が得られます．

$\varepsilon = -\varepsilon^{t}$

これを行列 $\varepsilon$ の成分で直接考えれば，次のような関係がなりたっているということです．

$\left( \begin{array}{ccc}\varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\\varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23} \\\varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33} \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc}-\varepsilon_{11} & -\varepsilon_{21} & -\varepsilon_{31} \\-\varepsilon_{12} & -\varepsilon_{22} & -\varepsilon_{32} \\-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & -\varepsilon_{33} \\ \end{array} \right)$

両辺の成分を一つ一つを見比べて， $\varepsilon$ の形を次のように決めることが出来ます．簡単のため， $\varepsilon_{12}=-r, \varepsilon_{13}=q, \varepsilon_{23}=-p$ のように置きました．

$\varepsilon=\left( \begin{array}{ccc}0 & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13} \\-\varepsilon_{12} & 0 & \varepsilon_{23} \\-\varepsilon_{13} & -\varepsilon_{23} & 0 \\ \end{array} \right)\equiv\left( \begin{array}{ccc}0 & -r & q \\r & 0 & -p \\-q & p & 0 \\ \end{array} \right)$

このような形の行列を反対称行列と呼びます．( p,q,r の並べ方と，マイナスのつけ方ですが，実はちょっと訳あって，このようにしました．無限小回転2 でじきにこの理由が分かります．楽しみに待っていてください．フフフ)

これは非常に感動的な結果です．一般に，３次元のベクトルに行列を作用させて有限回転を表現するには $3 \times 3$ の行列が必要で，つの成分を決める必要があったわけです．ところが，微小回転ではたった成分で済むというのですから，計算の労力が一気に三分の一に減ってしまったのです！！

( 無限小回転2 へつづく)

[home] [力学] [ページの先頭]