剛体のオイラー角でのハミルトニアンを解く

剛体の回転シリーズ番外編３です． せっかく番外編２で剛体のハミルトニアンを求めたので， 剛体のハミルトニアンを解いてトルクのかからない 剛体の運動方程式を導いてみました．

復習

まず，ハミルトニアンを確認します． 剛体のハミルトニアンを次のようなものでした．

H &=\frac{1}{2 I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\&+ \frac{1}{2 I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\&+ \frac{p_\psi^2}{2 I_z} \tag{1}

パラメータ \lambda に対して，

\dot{\lambda} = \frac{\partial H}{\partial p_\lambda} \tag{2} \dot{p}_\lambda = - \frac{\partial H}{\partial \lambda} \tag{3}

です．

ハミルトニアンの運動量での微分

それでは，さっそく式 (2) を求めてみましょう．

\dot{\phi} &= \frac{\partial H}{\partial p_\phi} \\&= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \cos \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \sin \psi \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \tag{4}

ここで，次のように \alpha , \beta , \gamma を定義します．

\alpha = \frac{\cos^2 \psi}{I_x}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y} \tag{5} \beta = \frac{1}{I_y}-\frac{1}{I_x} \tag{6} \gamma = \frac{\sin^2 \psi}{I_x}+ \frac{\cos^2 \psi}{I_y} \tag{7}

すると，式 (4) は，次のようになります．

\dot{\phi} &= \frac{1}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi +\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta\ p_\theta - \frac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\psi \tag{8}

同様に， \dot{\theta}, \dot{\psi} についても，

\dot{\theta} &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \times (- \sin \theta \sin \psi) \\&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \times ( \sin \theta \cos \psi) \\&= \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta p_\phi + \gamma p_\theta - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta p_\psi \tag{9} \dot{\psi} &= \frac{1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \cos \psi \cos \theta ) \\&+ \frac{1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \sin \psi p_\theta \}\times (- \sin \psi \cos \theta ) \\&+ \frac{p_\psi}{I_z} \\&= \frac{- \cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \ p_\phi - \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta}\beta \ p_\theta + (\frac{1}{I_z} + \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} \alpha ) p_\psi \tag{10}

これらを行列で表示すると，

\begin{pmatrix}\dot{\phi} \\ \dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\-\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \dfrac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix} \\&\equiv V\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix}\tag{11}

となります．行列部分を， V で定義しました．

ハミルトニアンの位置座標での微分

次は，式 (3) を計算していきます． まずは \dot{p}_\phi を求める作業から，これはハミルトニアンが \phi を含まないので簡単ですね．

\dot{p}_\phi = -\frac{\partial H}{\partial \phi} = 0 \tag{12}

次に， \dot{p}_\theta を求めます．これは，すこし面倒です．

\dot{p}_\theta &= - \frac{\partial H}{\partial \theta} \\&= \frac{\cos \theta}{I_x \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}^2 \\&- \frac{1}{I_x \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \}(\cos \psi \sin \theta p_\psi - \cos \theta \sin \psi p_\theta) \\&+ \frac{\cos \theta}{I_y \sin^3 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \}^2 \\&- \frac{1}{I_y \sin^2 \theta}\{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} (\sin \psi \sin \theta p_\psi + \cos \theta \cos \psi p_\theta) \\&= \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha \ p_\phi^2 \\&+ \frac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin^2 \theta}\beta \ p_\phi p_\theta \\&- \frac{1 + \cos^2 \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\phi p_\psi \\&+ 0 \times p_\theta^2 \\&- \frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\theta p_\psi \\&+ \frac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha \ p_\psi^2 \tag{13}

式 (12) を二次形式の行列を使って表すと，

\dot{p}_\theta &= \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & -\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha \\\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{2\sin^2 \theta}\beta & 0 & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta \\-\dfrac{1 + \cos^2 \theta}{2\sin^3 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{2\sin^2 \theta} \beta p_\theta & \dfrac{\cos \theta}{\sin^3 \theta} \alpha\end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix} \\&\equiv \begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}\Theta \begin{pmatrix} p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix}\tag{14}

上の式の最後で，行列部分を \Theta を使って定義しました．

同様に， \dot{p}_\psi を求めると，

\dot{p}_\psi &= -\frac{\partial H}{\partial \psi} \\&= \frac{-1}{I_x \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \{ -(p_\phi - \cos \theta p_\psi) \sin \psi - \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \\&+ \frac{-1}{I_y \sin^2 \theta} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi)\sin \psi + \sin \theta \cos \psi p_\theta \} \{ (p_\phi - \cos \theta p_\psi) \cos \psi - \sin \theta \sin \psi p_\theta \} \\&= -\frac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi^2+ \frac{- \cos^2 \psi+ \sin^2 \psi}{\sin \theta} \beta \ p_\phi p_\theta \\&+ \frac{2 \cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \ p_\phi p_\psi+ \sin \psi \cos \psi \beta \ p_\theta^2 \\&+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta}( \cos^2 \psi - \sin^2 \psi )\beta \ p_\theta p_\psi - \frac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\sin \psi \cos \psi \beta \ p_\psi^2 \\&=\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta & \dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta \\\dfrac{\alpha - \gamma}{2 \sin \theta} & \sin \psi \cos \psi \beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} \\\dfrac{\cos \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta}\beta & \dfrac{\cos \theta (\gamma - \alpha)}{2 \sin \theta} & -\dfrac{\cos^2 \theta \sin \psi \cos \psi}{\sin^2 \theta} \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix} p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix} \\&\equiv\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}\Psi \begin{pmatrix} p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix}\tag{15}

となります．ちなみに，

(\cos^2 \psi - \sin^2 \psi)\beta = \gamma - \alpha \tag{16}

です．

大まかな流れ

さて，これからの大まかな流れを書いていきます．まず，式 (11) を逆に解きます．つまり，

\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi\end{pmatrix} = V^{-1} \begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix} \tag{17}

を計算します．

次にこれを使って式 (14) と式 (15) から， p_\lambda を消去します． さらに，式 (17) を t で微分して，

\begin{pmatrix}\dot{p}_\phi \\\dot{p}_\theta \\\dot{p}_\psi\end{pmatrix} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) \begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix} + V^{-1}\begin{pmatrix}\ddot{\phi} \\\ddot{\theta} \\\ddot{\psi}\end{pmatrix} \tag{18}

最後に，これを

\begin{pmatrix}\ddot{\phi} \\\ddot{\theta} \\\ddot{\psi}\end{pmatrix}

について解けば， 運動方程式が完成します．つまり，

\begin{pmatrix}\ddot{\phi} \\\ddot{\theta} \\\ddot{\psi}\end{pmatrix}=V\begin{pmatrix}\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})\end{pmatrix}-V\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1})\begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix} \tag{19}

ここで，式 (12) , (14) , (15) を使って， \dot{p}_\lambda を消去したことを強調して置きます． ちなみに，式 (11) の両辺を t で微分して，

\begin{pmatrix}\ddot{\phi} \\\ddot{\theta} \\\ddot{\psi}\end{pmatrix}=V\begin{pmatrix}\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})\end{pmatrix}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi\end{pmatrix} \tag{20}

そして，式 (17) を使って，式 (20) から， p_\lambda を消去したもの，つまり，

\begin{pmatrix}\ddot{\phi} \\\ddot{\theta} \\\ddot{\psi}\end{pmatrix}=V\begin{pmatrix}\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})\end{pmatrix}+\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} \begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix} \tag{21}

も見かけは違いますが，

V V^{-1} = I \tag{22}

の両辺を t で微分してやれば，

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V)V^{-1} + V \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = 0 \tag{23}

となって，同じ方程式を与えることが分かります．

計算の実行

まず，さっき考えた通り，式 (14) と式 (15) から， \dot{p}_\lambda を消去します． それには V の逆行列 V^{-1} が必要ですので，それを求めます． V は次の形をしていました．

\begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{\sin^2 \theta}\alpha & \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta} \beta & -\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \\ \dfrac{\sin \psi \cos \psi}{\sin \theta}\beta & \gamma & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta \\-\dfrac{\cos \theta}{\sin^2 \theta}\alpha & -\dfrac{\sin \psi \cos \psi \cos \theta}{\sin \theta} \beta & \dfrac{1}{I_z} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta}\alpha \end{pmatrix}\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix} \tag{11}

長くなるので，計算過程は省略します． 逆行列は，例えば余因子行列を求める方法で求めてください．

\alpha \gamma - \sin^2 \psi \cos^2 \psi \beta^2 = \frac{1}{I_x I_y}

に注意すれば，

\begin{pmatrix}p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix}&=V^{-1}\begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\I_z \cos \theta & 0 & I_z \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix}\tag{24}

となります． すると， 正方行列の三連続積の展開 を利用して，

\dot{p}_\theta &=\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}\Theta \begin{pmatrix} p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}V^{-1}\Theta V^{-1}\begin{pmatrix} \dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi} \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta & -\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & -\dfrac{I_z}{2}\sin \theta \\-\dfrac{1}{2}I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta & 0 & 0 \\-\dfrac{I_z}{2}\sin \theta & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi} \end{pmatrix}\tag{25}

また， \dot{p}_\psi についても，

\dot{p}_\psi &=\begin{pmatrix} p_\phi & p_\theta & p_\psi \end{pmatrix}\Psi \begin{pmatrix} p_\phi \\p_\theta \\p_\psi \end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}V^{-1}\Psi V^{-1}\begin{pmatrix} \dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\phi} & \dot{\theta} & \dot{\psi} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta & -\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & 0 \\-\dfrac{1}{2} I_x I_y \cos 2 \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta & 0 \\0 & 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} \dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi} \end{pmatrix}\tag{26}

次に， V^{-1} の時間微分を求めます．記法の簡単のため，

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1}) = T \tag{27}

とします．

V^{-1} = \begin{pmatrix}I_x I_y \sin^2 \theta \gamma +I_z \cos^2 \theta & - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_z \cos \theta \\ - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin \theta \beta & I_x I_y \alpha & 0 \\I_z \cos \theta & 0 & I_z \end{pmatrix} \tag{28}

でしたので，

\frac{\mathrm{d} \alpha }{\mathrm{d} t } = 2 \cos \psi \sin \psi \dot{\psi} \beta \tag{29} \frac{\mathrm{d} \gamma }{\mathrm{d} t } = -2 \cos \psi \sin \psi \dot{\psi} \beta \tag{30}

に注意すれば，

T_{11} &= 2 (I_x I_y \sin \theta \cos \theta \gamma - I_z \sin \theta \cos \theta ) \dot{\theta} \\&- 2 I_x I_y \sin^2 \theta \sin \psi \cos \psi \beta \dot{\psi} \tag{31} T_{12} &= T_{21} \\&= - \cos 2 \psi \sin \theta I_x I_y \beta \dot{\psi} - \sin \psi \cos \psi \cos \theta I_x I_y \beta \dot{\theta} \tag{32} T_{13} &= T_{31} \\ &= -I_z \sin \theta \dot{\theta} \tag{33} T_{22} = 2 I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \dot{\psi} \tag{34} T_{23} = T_{32} = T_{33} = 0 \tag{35}

ここで，

\begin{pmatrix}\ddot{\phi} \\\ddot{\theta} \\\ddot{\psi}\end{pmatrix}&=V \Bigl( \begin{pmatrix}\dot{p}_\phi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\theta(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}) \\\dot{p}_\psi(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi})\end{pmatrix}-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(V^{-1})\begin{pmatrix}\dot{\phi} \\\dot{\theta} \\\dot{\psi}\end{pmatrix} \Bigr) \\&\equiv V \bm{x} \\&= V \begin{pmatrix}x_1 \\x_2 \\x_3\end{pmatrix}\tag{36}

のように，列ベクトル \bm{x} を定義します． すると，

x_1 &= ( 2I_z - 2 I_x I_y \gamma )\sin \theta \cos \theta \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\&+ 2 I_x I_y \sin^2 \theta \sin \psi \cos \psi \beta \ \dot{\phi}\dot{\psi} \\&+ I_x I_y \sin \psi \cos \psi \cos \theta \beta \ \dot{\theta}^2 \\&+ (I_x I_y \cos 2 \psi \beta + I_z )\sin \theta \ \dot{\theta}\dot{\psi} x_2 &= (I_x I_y \gamma - I_z)\sin \theta \cos \theta \ \dot{\phi}^2 \\&+ (I_x I_y \cos 2 \psi \beta - I_z) \sin \theta \ \dot{\phi}\dot{\psi} \\&- 2 I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \ \dot{\theta}\dot{\psi} x_3 &= - I_x I_y \sin \psi \cos \psi \sin^2 \theta \beta \ \dot{\phi}^2 \\&+ (I_z - I_x I_y \cos 2 \psi \beta) \sin \theta \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\&+ I_x I_y \sin \psi \cos \psi \beta \ \dot{\theta}^2

となります． そして，この列ベクトルに V をかければ良いのです． よって運動方程式は，

\ddot{\phi} &= \frac{\sin 2 \psi \cos \theta}{2}\{ I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) - I_z \beta \} \ \dot{\phi}^2 \\&+ \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \{ I_z \alpha - I_x I_y \alpha (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\&+ \frac{\sin 2 \psi}{2}\{I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) - I_z \beta \} \ \dot{\phi}\dot{\psi} \\&+ \frac{1}{\sin \theta}\{ 1 -I_x I_y (\frac{\cos^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\sin^2 \psi}{I_y^2}) + I_z \alpha \} \ \dot{\theta}\dot{\psi} \tag{37} \ddot{\theta} &= \frac{\sin 2 \theta}{2}\{ I_x I_y (\frac{\sin^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\cos^2 \psi}{I_y^2})-I_z \gamma \} \ \dot{\phi}^2 \\&+ \sin \psi \cos \psi \cos \theta \{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\&+ \sin \theta \{ -1 +I_x I_y (\frac{\sin^2 \psi}{I_x^2}+\frac{\cos^2 \psi}{I_y^2})-I_z \gamma \}\ \dot{\phi}\dot{\psi} \\&+ \frac{\sin 2 \psi}{2} \{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \} \ \dot{\theta}\dot{\psi} \tag{38} \ddot{\psi} &= \frac{\sin 2 \psi}{2} \{ I_z \beta \cos^2 \theta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \cos^2 \theta - \frac{2 I_x I_y}{I_z}\sin^2 \theta \} \ \dot{\phi}^2 \\ &+ \left[ \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta} \{ I_x I_y \alpha(\alpha + \gamma) - I_z \alpha \} + \sin \theta \{ \frac{I_x I_y}{I_z}(\alpha - \gamma) + 1 \} \right] \ \dot{\phi}\dot{\theta} \\&+ \frac{\sin 2 \psi \cos \theta}{2}\{ I_z \beta - I_x I_y \beta (\alpha + \gamma) \}\ \dot{\phi}\dot{\psi} \\&+ \frac{I_x I_y}{2 I_z} \sin 2 \psi \beta \ \dot{\theta}^2 \tag{39}

となります．これら三式が知りたかった剛体の運動方程式です．

それでは，今日はこの辺で． お疲れ様でした．