ブックエンドはなぜ倒れないか

みなさんは,机の上に本を立てて並べたことはありませんか? L字型のブックエンドを使わないとすぐ倒れてしまいますよね. 今回は,なぜブックエンドをつかうと本が倒れないかを考えてみます.

モデル化

chromel-bookEnd-01-t.png

ブックエンドの重心を図の様に (x,y)=(r \cos \theta,r \sin \theta) と置きます. 左側に倒れない為には, \theta が微小量 d \theta だけ増えた時, 重心の位置のポテンシャルエネルギー U に対し, \dfrac{dU}{d \theta}>0 であれば大丈夫です. ここで U = mg r \sin \theta ですから,

\frac{dU}{d \theta} = mgr \cos \theta > 0 \tag{1}
0 \leq \theta < \dfrac{\pi}{2}

ならば,倒れないことになります.θの値がゼロに近ければ近いほど,つまり,ブックエンドの底面が長ければ長いほど, 倒れにくくなります.

逆にブックエンドを使わない時には, \theta \sim \dfrac{\pi}{2} かつ, \dfrac{d U}{d \theta} \sim 0 ですから, 倒れてしまうことになります.

通常の環境では,本の重心が持ち上がることはないので, 何がブックエンドの良さを決めるかというと, それは,机との摩擦の大きさです. つまり,ブックエンドは傾くことはないですが,滑って本が倒れることの方が起きやすいのです.

それでは,今日はこの辺で.お疲れ様でした.