ベクトルの回転

ある軸の回りに，グルリとベクトルを回転させるとどうなるかを考えます．ベクトルの計算としては，内積，外積，ベクトルの射影が出てきます．忘れてしまった人は先にもう一度ベクトルを復習してみて下さい．最初に有限回転(回転の大きさが無視できない)の場合を考えます．次に，有限回転の式から微小回転(回転が十分小さい)の場合の式を導きます．この二つの式を導くのが本稿の目的です．

ベクトルの有限回転

ベクトル $\bm{r}$ を， $\bm{r}$ と並行ではない単位ベクトル $\bm{n}$ の回りに，角度 $\phi$ だけ回転させたものを $\bm{r'}$ とします．回転の方向はネジを回すとベクトル $\bm{n}$ の方向にネジが進むような方向です．つまりは，次の図のような状況を考えているわけです．目標は， $\bm{r'}$ を $\bm{r}$ , $\bm{n}$ , $\phi$ で表すことです．頑張りましょう．

この図さえ綺麗に書ければ，半ば勝負はあったようなものです．は次のように表すことが出来ます．図を見ながら，式を一行ずつ納得して読んで行って下さい．

$\bm{r'}&=\overrightarrow {ON}+\overrightarrow {NV}+\overrightarrow {VQ} \\&=\bm{n}(\bm{n}\cdot \bm{r})+[\bm{r} - \bm{n} (\bm{n}\cdot \bm{r})]\cos \phi -(\bm{r}\times \bm{n})\sin \phi \tag{1}$

一気に最後まで書いてしまいましたが，ここでの計算は大丈夫でしょうか．途中で，ベクトルの射影と外積を使っています．一応，何がどうなっているのか，説明をしておきましょう．

[式の解説]

一行目はさすがに大丈夫だと思います．

二行目を一項ずつ見ていきましょう．まず $\overrightarrow {ON}$ ですが，これはをに射影したものですので $\bm{n}(\bm{n}\cdot \bm{r})$ となるわけです．は単位ベクトルなので長さはだということに注意して下さい．(ベクトルの射影を忘れてしまった人は，もう一度ベクトルを復習して下さい．)

次にベクトル $\overrightarrow {NV}$ ですが，これはベクトル $\overrightarrow {NP}$ と向きが同じで，長さは $\cos \phi$ 倍のものですので(上図の右側を見てください)， $\overrightarrow {NP} \cos \phi = [\overrightarrow {OP}-\overrightarrow {ON}] \cos \phi = [\bm{r} - \bm{n} (\bm{n}\cdot \bm{r})]\cos \phi$ と書けるわけです．

最後にベクトル $\overrightarrow {VQ}$ ですが，これが $(\bm{r}\times \bm{n})\sin \phi$ だというのには，少し説明が要るかもしれません．まず外積の定義を思い出しましょう．外積 $\bm{r}\times \bm{n}$ の向きは，ねじ回しを，ベクトル $\bm{r}$ からベクトル $\bm{n}$ に向かって回したときに，ネジが進む方向でした．つまり，右の図に書いてあるような向きになります．また，その大きさは $\bm{r}$ と $\bm{n}$ のなす角を $\theta$ とすれば $\big\arrowvert r\big\arrowvert \big\arrowvert n\big\arrowvert \sin \theta = \big\arrowvert r\big\arrowvert \sin \theta$ でしたので，ちょうど図に描いてある円の半径と等しくなるわけです． $\theta$ は左の図に書き込んでありますので， $\big\arrowvert r\big\arrowvert \sin \theta$ が図の円の半径に等しくなることを確認して下さい．の長さは円の半径の $\sin \phi$ 倍ですから， $\overrightarrow {VQ}=-(\bm{r}\times \bm{n})\sin \phi$ となるわけです．( $r \times n$ と $\overrightarrow {VQ}$ は向きが逆なのでマイナスがついていることにも注意して下さい．)

[式の解説終わり]

式(1)は『ベクトル $\bm{r}$ を，ベクトル単位ベクトル $\bm{n}$ の回りに半時計回りに角 $\phi$ だけ回転させた』ベクトル $\bm{r'}$ を表す式だということです．これはロドリグの公式と呼ばれています．少しだけ項のまとめ方を変えて，次のような形で紹介されていることの方が多いかも知れません．

$\bm{r'}=\bm{r}\cos \phi+ \bm{n} (\bm{n}\cdot \bm{r})[1-\cos \phi] -(\bm{r}\times \bm{n})\sin \phi \tag{2}$

無限小回転

さきほど求めたロドリグの公式で，回転が微小の場合を考えましょう．式(2)で， $\phi$ の代わりに $d\phi$ とします．このとき $\cos d\phi =1$ , $\sin d\phi = d\phi$ とみなせますので，式(2)は次のような簡単な形に帰着してしまいます．

$\bm{r'}=\bm{r}-(\bm{r}\times \bm{n})d\phi$

回転が微小のときにはベクトル $\bm{r}$ の変化も微小だと考えて， $\bm{dr}=\bm{r'}-\bm{r}$ と置くと，次のように書けることが分かると思います．

$\bm{dr}=\bm{r'}-\bm{r}=-(\bm{r}\times \bm{n})d\phi \tag{3}$

これがベクトルを微小回転させたときの変位を表す式です．教科書によっては，この式がいきなりベクトルの微分というページに出てくることもあります．それはそれで一つの考え方です．本稿では，敢えて，図形的に有限回転の場合をまず求め，そこから無限小回転の場合を導くというアプローチを取りました．

回転する座標系から運動を見るときに，遠心力，コリオリ力などの見かけの力が働きますが，こうした見かけの力を求めるときに式(3)がとても大事です．

まとめ

公式としてベクトルの回転の式を再掲しておきます．ときには有限回転の式も重要です．

有限回転の式：

$\bm{r'}=\bm{r}\cos \phi+ \bm{n} (\bm{n}\cdot \bm{r})[1-\cos \phi] -(\bm{r}\times \bm{n})\sin \phi \tag{2}$

微小回転の式：

$\bm{dr}=\bm{r'}-\bm{r}=-(\bm{r}\times \bm{n})d\phi =(\bm{n}\times \bm{r})d\phi\tag{3}$

注)有限回転の式を，ロドリグの公式と呼びましたが，この式を導いたのはロドリグではないという説が有力です．この式自体は，実はもっと昔から知られていたようなのですが，ベクトルという概念がまだ無かったので，違った説明のされかたをされていました．ベクトルという概念を前面に押し出して，この公式を初めて導いたのはギブスのようです．こういった事情により，ロドリグの公式という言い方を避けて，ベクトルの回転公式などと呼ぶ人もいるようですが，未だに定着している名前はありません．本稿では，慣用に従ってロドリグの公式という名前を使いました．

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