この記事では,任意回数だけ微分できる普通の二変数関数のテイラー展開公式
を直観的に理解する為に書きます.厳密性は置いておきます(汗).
まず,一変数のテイラー展開を復習しておきます.
これはいいでしょうか?おそらく気になるところと言えば,分母の だと思います.これは上の式で定数 と変数 と見た時, 回微分すると は定数 となります.そこで, の瞬間の値(つまり の時の値であり, より低次と高次の寄与は無視し, の寄与のみを考える)が となる様に が付いている訳です.
さて,これを拡張しましょう.
を展開するわけです. の変化は取りあえず置いておいて, の展開を行います.
ここで,今度は 方向の展開をそれぞれの項について考えていきます. ここでは4次まで書いて行こうと思います.
次に式 の右辺第二項を展開します.
同様に第三項以降も展開します.
よって,これらを合わせると,
この展開の中で二つとして同じ項はありません. よって,式 の直観的理解は達成されたと思います.
今日はここまで.お疲れ様でした.