二変数のテイラー展開

この記事では,任意回数だけ微分できる普通の二変数関数のテイラー展開公式

f(x+ \delta x , y + \delta y) = \sum_{i,j=0}^{\infty} \dfrac{\partial_x^i \partial_y^j f(x,y)}{i!j!}\delta x^i \delta y^j \tag{1}

を直観的に理解する為に書きます.厳密性は置いておきます(汗).

一変数のテイラー展開(復習)

まず,一変数のテイラー展開を復習しておきます.

f(x+ \delta x ) &= f(x) + \dfrac{f^\prime(x)}{1!}\delta x + \dfrac{f^{\prime \prime}(x)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac{f^{\prime \prime \prime}(x)}{3!}(\delta x)^3 + \cdots \\&= \sum_{i=0}^\infty \dfrac{(\dfrac{d}{dx})^i f(x)}{i!}(\delta x)^i  \tag{2}

これはいいでしょうか?おそらく気になるところと言えば,分母の i! だと思います.これは上の式で定数 x と変数 \delta x と見た時, i 回微分すると (\delta x)^i は定数 i! となります.そこで, x の瞬間の値(つまり \delta x = 0 の時の値であり, (\delta x)^i より低次と高次の寄与は無視し, (\delta x)^i の寄与のみを考える)が \left( \dfrac{d}{dx} \right)^i f(x) となる様に i! が付いている訳です.

二変数のテイラー展開

さて,これを拡張しましょう.

f(x + \delta x, y + \delta y) = ? \tag{3}

を展開するわけです. y の変化は取りあえず置いておいて, x の展開を行います.

f(x + \delta x, y + \delta y) = f(x , y+\delta y) + \dfrac{\partial_x f(x , y+\delta y)}{1!}\delta x + \dfrac{\partial_x^2 f(x , y+\delta y)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac{\partial_x^3 f(x , y+\delta y)}{3!}(\delta x)^3 + \dfrac{\partial_x^4 f(x , y+\delta y)}{4!}(\delta x)^4 + \cdots  \tag{4}

ここで,今度は y 方向の展開をそれぞれの項について考えていきます. ここでは4次まで書いて行こうと思います.

f(x , y+\delta y) = f(x,y) + \dfrac{\partial_y f(x , y)}{1!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 f(x , y)}{2!}(\delta y)^2 + \dfrac{\partial_y^3 f(x , y)}{3!}(\delta y)^3 + \dfrac{\partial_y^4 f(x , y)}{4!}(\delta y)^4 + \cdots \tag{5}

次に式 (4) の右辺第二項を展開します.

\dfrac{\partial_x f(x , y+\delta y)}{1!} = \dfrac{\partial_x f(x , y)}{1!} + \dfrac{\partial_y \partial_x f(x , y)}{1!1!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 \partial_xf(x , y)}{2!1!}(\delta y)^2 + \dfrac{\partial_y^3 \partial_xf(x , y)}{3!1!}(\delta y)^3 +  \cdots \tag{6}

同様に第三項以降も展開します.

\dfrac{\partial_x^2 f(x , y+\delta y)}{2!} = \dfrac{\partial_x^2 f(x , y)}{2!} + \dfrac{\partial_y \partial_x^2 f(x , y)}{1!2!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 \partial_x^2f(x , y)}{2!2!}(\delta y)^2 + \cdots \tag{7} \dfrac{\partial_x^3 f(x , y+\delta y)}{3!} = \dfrac{\partial_x^3 f(x , y)}{3!} + \dfrac{\partial_y \partial_x^3 f(x , y)}{1!3!}\delta y + \cdots \tag{8} \dfrac{\partial_x^4 f(x , y+\delta y)}{4!} = \dfrac{\partial_x^4 f(x , y)}{4!} + \cdots \tag{9}

よって,これらを合わせると,

f(x + \delta x, y + \delta y) &= f(x,y) + \dfrac{\partial_y f(x , y)}{1!}\delta y + \dfrac{\partial_y^2 f(x , y)}{2!}(\delta y)^2 + \dfrac{\partial_y^3 f(x , y)}{3!}(\delta y)^3 + \dfrac{\partial_y^4 f(x , y)}{4!}(\delta y)^4 + \cdots \\&+ \dfrac{\partial_x f(x , y)}{1!}\delta x + \dfrac{\partial_y \partial_x f(x , y)}{1!1!}\delta y\delta x + \dfrac{\partial_y^2 \partial_xf(x , y)}{2!1!}(\delta y)^2\delta x + \dfrac{\partial_y^3 \partial_xf(x , y)}{3!1!}(\delta y)^3\delta x +  \cdots \\&+ \dfrac{\partial_x^2 f(x , y)}{2!}(\delta x)^2 + \dfrac{\partial_y \partial_x^2 f(x , y)}{1!2!}\delta y(\delta x)^2 + \dfrac{\partial_y^2 \partial_x^2f(x , y)}{2!2!}(\delta y)^2 (\delta x)^2 + \cdots \\ &+ \dfrac{\partial_x^3 f(x , y)}{3!}(\delta x)^3 + \dfrac{\partial_y \partial_x^3 f(x , y)}{1!3!}\delta y(\delta x)^3 + \cdots \\&+ \dfrac{\partial_x^4 f(x , y)}{4!}(\delta x)^4 + \cdots  \tag{10}

この展開の中で二つとして同じ項はありません. よって,式 (1) の直観的理解は達成されたと思います.

今日はここまで.お疲れ様でした.