短い記事です.積分をする時に を
として,
としますが,
少なくとも僕は最初とまどいました.
不思議な事に
としても同じ結果が得られます.
それの根拠を探ります.
この記事ではこれを一般化して,
と,
の同値性を示します.
まず,式 から式
を導きます.
前提として,鎖の規則と逆関数の微分法を認めます.
準備として の原始関数の一つを
,積分定数
として,
となります.ここで,式 の最終行の両辺を
で微分します.
こうして,式 から式
が導けました.
そして,逆をたどれば式
から式
を導けます.
よって,鎖の規則と逆関数の微分法を認めることで,
式 と式
は同値なものであると分かりました.
今日はこの辺で,お疲れさまでした.