新たな積分の形式

小ネタです．あらたな積分の形式を考えてみました． でも残念なことに，応用には向かなさそうです．

復習（高校でならう積分）

高校でならう積分の復習をしてみます． リーマン積分ってやつですね． ちょっとおおざっぱですが，お許しください．

関数f(x)のaからbまでの定積分を定義するには， まず区間 [a,b] をn等分してできる，n+1個の分割点に x_i\ \ (i=0,1,\cdots,n) と名前をつけます． [*] そして，その間隔を \Delta x = x_{i+1} - x_i = \frac{b-a}{n} とします．

[*]具体的な書くと x_i = a + \frac{(b-a)i}{n} です．

そこで，定積分を以下のように定義するのでした．

\int_0^x f(x) dx &\equiv \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x \\&= (b-a) \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \frac{1}{n}

ここで， b-a を前に出したのは，今後の布石です． 最後の行をよく見てみると，（b-a）×（ｎ個の点でのf(x)の値の平均）になっていますよね． つまり，すべての点の平均値に区間の長さをかければ，曲線の下の面積になるわけです．

新たな積分

ここで，今回のメインコンテンツは， さっき出てきた平均を，相加平均じゃなくて相乗平均にしてしまおうというのが， 基本のアイディアです．では，さっそく変えてみましょう．

簡単のため，区間 [a,b] ではなく，区間 [0,1] にしておきます． 汎関数の一種なので， \pi(f)|_0^1 とでも，表現しましょうか．

\pi(f)|_0^1 &\equiv \lim_{n \to \infty} \left( \prod_{i=1}^n f(x_i) \right)^{1/n} \\&= \lim_{n \to \infty} e^{\log \left( \prod_{i=1}^n f(x_i) \right)^{1/n}} \\&= \lim_{n \to \infty} e^{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \log f(x_i) } \\&= \lim_{n \to \infty} e^{\Delta x \sum_{i=1}^n \log f(x_i)} \\&= e^{\int_0^1 \log f(x) dx}

なんだ，結局既存の計算手法で表現できるものでしたね． 拡張するには，出てきた定積分の区間を [a,b] とするのが，自然だと思います． 以下に，一般の形を書きます．

新たな積分のまとめ

関数 f(x) の区間 [a,b] での新たな定積分は，

\pi(f)|_a^b \equiv e^{\int_a^b \log f(x) dx}

となります．

f(x) がゼロになる区間を含んでいると，すべて１になってしまうので， いまいち使い勝手が悪いなぁというのが正直な感想です．

新たな積分の応用

元にあるのは，相乗平均ですから，連続変数であって， 大域的には指数関数的変動をする変数の単位時間当たりの 変動倍率をもとめる時なんかに使えるかなぁ？

それは，

\frac{\pi(f)|_a^b}{e^{b-a}} = e^{\frac{\int_a^b \log f(x) dx}{\int_a^b dx}}

で求められます．

積分の他の拡張

平均を調和平均にした場合，詳しくは書きませんが同様に，

\eta(f)_0^1 &\equiv \lim_{n \to \infty} n \times \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{f(x_i)} \right)^{-1} \\&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \frac{1}{f(x_i)n} \right)^{-1} \\&= \lim_{n \to \infty} \left( \sum_{i=1}^n \frac{\Delta x}{f(x_i)} \right)^{-1} \\&= \left( \int_0^1 \frac{1}{f(x)} dx \right)^{-1}

同様に区間を一般化して，

\eta(f)_a^b \equiv \left( \int_a^b \frac{1}{f(x)} dx \right)^{-1}

となります．

これは，例えば無限に細い単位長さあたりの抵抗の異なる抵抗を束ねた時， 全体の抵抗はどうなるか計算できます．

最後に幾何平均と調和平均が定義できるためには，区間[a,b]に於いて，f(x)>0が必要であることを付け加えておきます．

それでは，今日はこの辺で． ごきげんよう(^o^)/~