三角関数のｎ倍角の公式

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三角関数のｎ倍角の公式をひたすら求めてみました．なにかの役に立てば幸いです．

求める方法

行列を使う方法，複素数を使う方法，加法定理を使う方法等がありますが，今回は，複素数を使う方法で求めました．

$\cos n \theta + i \sin n \theta =(\cos \theta + i \sin \theta)^n$

を使います．計算過程は省略します．計算の確認は，表計算ソフトexcelで行いました．

正弦関数の倍角公式

$\sin \theta = \sin \theta$

$\sin 2 \theta = \cos \theta (2 \sin \theta)$

$\sin 3 \theta = -4 \sin^3 \theta + 3 \sin \theta$

$\sin 4 \theta = \cos \theta (-8 \sin^3 \theta + 4 \sin \theta)$

$\sin 5 \theta = 16 \sin^5 \theta - 20 \sin^3 \theta + 5 \sin \theta$

$\sin 6 \theta = \cos \theta (32 \sin^5 \theta -32 \sin^3 \theta + 6 \sin \theta)$

$\sin 7 \theta = -64 \sin^7 \theta + 112 \sin^5 \theta -56 \sin^3 \theta + 7 \sin \theta$

$\sin 8 \theta = \cos \theta (-128 \sin^7 \theta + 192 \sin^5 \theta - 80 \sin^3 \theta + 8 \sin \theta)$

$\sin 9 \theta = 256 \sin^9 \theta - 576 \sin^7 \theta + 432 \sin^5 \theta -120 \sin^3 \theta + 9 \sin \theta$

$\sin 10 \theta = \cos \theta (512 \sin^9 \theta -1024 \sin^7 \theta + 672 \sin^5 \theta - 160 \sin^3 \theta + 10 \sin \theta)$

余弦関数の倍角公式

$\cos \theta = \cos \theta$

$\cos 2 \theta = 2 \cos^2 \theta - 1$

$\cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$

$\cos 4 \theta = 8 \cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1$

$\cos 5 \theta = 16 \cos^5 \theta - 20 \cos^3 \theta + 5 \cos \theta$

$\cos 6 \theta = 32 \cos^6 \theta -48 \cos^4 \theta + 18 \cos^2 \theta - 1$

$\cos 7 \theta = 64 \cos^7 \theta - 112 \cos^5 \theta + 56 \cos^3 \theta -7 \cos \theta$

$\cos 8 \theta = 128 \cos^8 \theta -256 \cos^6 \theta + 160 \cos^4 \theta -32 \cos^2 \theta + 1$

$\cos 9 \theta = 256 \cos^9 \theta -576 \cos^7 \theta + 432 \cos^5 \theta - 120 \cos^3 \theta + 9 \cos \theta$

$\cos 10 \theta = 512 \cos^{10} \theta -1280 \cos^8 \theta + 1120 \cos^6 \theta - 400 \cos^4 \theta + 50 \cos^2 \theta - 1$

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