対数関数lnと指数関数expが逆関数であることの証明

この記事では, ,

y= f(x)= \ln \ x = \log_e \  x

[*]

[*]大学では, e を底とする対数関数 \log_e \ x を, \ln \ x と書きます.
y= g(x) = e^x = \exp(x)

の逆関数であることを確認します.

本題

y &= (f \circ g)(x) \\  &= \ln \ e^x \\  &= x \ln \ e \\  &= x

は,簡単に示せます [†]

[†]ここで, \ln\ x^y = y \ln \ x という性質を用いました.

でははたして,

y &= (g \circ f)(x) \\  &= e^{\ln \ x} \\  &= x \tag{1}

は,どうしたら示せるでしょうか? [‡]

[‡]そもそも, y =\ln\ x は, ey 乗した時 x になるときの y という数の事だったので, 定義から考えると当然の結果ではあります.よって,以下は計算で示したい人だけ読んでください.

それには,ちょっと工夫が要ります. 式 (1) において,

x = \exp(t)

と置いてやるのです.

y &= (g \circ f)(x) \\  &=\exp(\ln \ x) \\  &= \exp(\ln \ e^t) \\  &= \exp(t \ln \ e) \\  &= \exp(t) \\  &= x \tag{2}

一番最後の行で,最初に決めた関係 e^t=x を用いました.

これで,めでたく

(f \circ g)(x)=(g \circ f)(x)=x

が示せました. では,そろそろ,今日はここまで.