exp(ix^2)のガウス積分

ファインマンの経路積分で何気なく使っていたので， 確かめてみました．短いです．

I = \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \tag{1}

と置きます．

すると，収束因子として， \delta \to +0 を用いて，

I^2 &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{i(x^2+y^2)} dx dy \\&= \int_{0}^\infty dr \int_0^{2 \pi} d \theta r e^{i r^2} \\&= [\dfrac{e^{ir^2}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\&= \lim_{\delta \to +0} [\dfrac{e^{ir^2- \delta r}}{2i}]_0^\infty [\theta]_0^{2 \pi} \\&= \dfrac{-1}{2 i}2 \pi \\&= i \pi \tag{2}

となり， よって，

I &= \int_{-\infty}^\infty e^{ix^2} dx \\&= \sqrt{i \pi} \tag{3}

ですね．なるほど，

J &= \int_{-\infty}^\infty e^{- \alpha x^2} dx \\&= \sqrt{\pi/\alpha} \tag{4}

ですから，この \alpha に -i を代入したものに一致するのですね． それでは，今日はこの辺で．お疲れ様でした．