双曲線関数の公式１

双曲線関数に成り立つ公式は， 三角関数の公式１ に大変よく似ています．

平方関係

一番目の式は，公式というよりは定義そのものです．

\cosh^2 \theta - \sinh^2 \theta = 1
1-\tanh^2 \theta = \frac{1}{\cosh^2 \theta}
1- \frac{1}{\tanh^2 \theta} =- \frac{1}{\sinh^2 \theta}

２倍角の公式

加法定理で \alpha = \beta = \theta と置けば出てきます．

\sinh 2 \theta = 2 \sinh \theta \cosh \theta
\cosh 2 \theta = 2 \cosh^2 \theta -1 = 1+ 2\sinh^2 \theta = \cosh^2 \theta + \sinh^2 \theta
\tanh 2 \theta = \frac{2 \tanh \theta}{1+ \tanh^2 \theta}

ここで \tanh \frac{\theta}{2}=t と置くと，次のようにも表せます．

\sinh 2 \theta = \frac{2}{1-t^2}
\cosh 2 \theta = \frac{1+t^2}{1-t^2}
\tanh 2 \theta = \frac{2t}{1+t^2}

３倍角の公式

加法定理で， \alpha = \theta , \beta = 2\theta と置き，２倍角の公式を再び使えば導けます．もしくは，オイラーの関係式 \exp ^{\pm \theta} = \cosh \theta \pm \sinh \theta の両辺を３乗して，工夫するのも良い方法です．

\sinh 3 \theta = 3 \sinh \theta + 4 \sinh^3 \theta
\cosh 3 \theta = 4 \cosh^3 \theta -3 \cosh \theta
\tanh 3 \theta = \frac{3 \tanh \theta + \tanh^3 \theta}{1+ 3 \tanh^2 \theta}

半角の公式

２倍角の公式から導けます．

\sinh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta -1}{2}
\cosh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta + 1}{2}
\tanh^2 \frac{ \theta}{2} = \frac{\cosh \theta -1}{\cosh \theta +1}

積和の公式

この公式は，加法定理で \sinh(\alpha \pm \beta) , \cosh(\alpha \pm \beta) を計算しておき，うまく足したり引いたりして導きます．

\sinh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2}\Big( \sinh(\alpha + \beta) + \sinh (\alpha - \beta)\Big)
\cosh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2}\Big( \sinh(\alpha + \beta) - \sinh (\alpha - \beta)\Big)
\cosh \alpha \cosh \beta = \frac{1}{2}\Big( \cosh(\alpha + \beta) + \cosh (\alpha - \beta)\Big)
\sinh \alpha \sinh \beta = \frac{1}{2}\Big( \cosh(\alpha + \beta) - \cosh (\alpha - \beta)\Big)

和積の公式

積和の公式で \alpha = \frac{A+B}{2} , \beta = \frac{A-B}{2} と置けば導けます．

\sinh A +\sinh B = 2 \sinh \frac{A+B}{2}\cosh \frac{A-B}{2}
\sinh A -\sinh B = 2 \cosh \frac{A+B}{2}\sinh \frac{A-B}{2}
\cosh A +\cosh B = 2 \cosh \frac{A+B}{2}\cosh \frac{A-B}{2}
\cosh A -\cosh B = 2 \sinh \frac{A+B}{2}\sinh \frac{A-B}{2}

逆に，和積の公式で \frac{A+B}{2}=\alpha , \frac{A-B}{2}=\beta と置けば積和の公式が得られます．