三次元の調和関数(極座標表示)

三次元の調和関数について書いてある文書を見つけられなかったので,自分で考えてみました. どうやら,簡単な事なのでわざわざ文書にする人がいらっしゃらなかったようです. 球面調和関数については既知とします.

二次元の調和関数

二次元の調和関数といえば,複素関数論から \dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}} = 0 を満たす z = x+iy, (\bar{z}=x-iy) の複素関数の実部 u と虚部 v とすると,それぞれが \triangle u = 0,\triangle v = 0, を満たすので,様々な形を得ることができます.つまり, \bar{z} を使わず, z のみを使う任意の関数があれば,いくらでも調和関数を作れます. (ただ,筆者はそうして得られる関数が,ラプラシアンをとるとゼロになることを満たすことの必要条件なのかどうかは知りません.つまり,複素関数から作られ得ない調和関数があるのかどうかは,知りません.)

極座標を基にした三次元の調和関数

極座標での三次元調和関数 f(r,\theta,\phi) の定義を,一応書きましょう. それは,

\triangle f = 0 \tag{1}

であり,極座標では,

\left( \dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial}{\partial r}  \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right) f = 0 \tag{2}

となります.これを解くには,動径方向の式と角度方向の式に分解します.変数分離法と言います.角度方向は球面調和関数 Y_{\ell m}(\theta,\phi) という有名な関数があり,ゼロ以上の整数 \ell と絶対値が \ell を超えない整数 m \ (m=\ell, \ell-1,\cdots,-\ell) で指定されます.演算子 \Lambda を以下で定義します.

\Lambda =\dfrac{1}{\sin \theta} \dfrac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta} \right) + \dfrac{1}{\sin^2 \theta} \dfrac{\partial^2}{\partial \phi^2} \tag{3}

すると, Y_{\ell m}

\Lambda Y_{\ell m} = -\ell(\ell+1) Y_{\ell m} \tag{4}

と言う固有値方程式を満たします.式 (2) の解を f = R(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi) とすると,

\dfrac{1}{r^2} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial}{\partial r} RY \right) + \dfrac{\Lambda Y}{r^2} R = 0 \tag{5}

となります.これに \dfrac{r^2}{RY} をかけて,

\dfrac{1}{R} \dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial}{\partial r} R \right) + \dfrac{\Lambda Y}{Y} = 0 \tag{6}

となり,式 (4) を使って整理すれば,

\dfrac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \dfrac{\partial}{\partial r} R \right) -\ell(\ell+1)R = 0 \tag{7}

が得られます.カッコを展開すると,

R^{\prime \prime} + \dfrac{2}{r}R^{\prime} - \dfrac{\ell(\ell+1)}{r^2}R = 0 \tag{8}

に帰着します.さて,これは簡単な微分方程式です. R(r)=r^n と試しに代入してみると,

&n(n-1)r^{n-2} + 2 n r^{n-2} - \ell(\ell+1)r^{n-2} = 0 \\&(n-\ell)(n+(\ell+1))r^{n-2} = 0 \tag{9}

となるので, n = \ell,-\ell-1 と定まります.

よって,まとめると,定数 A_{\ell m},B_{\ell m} を用いて,

f = \sum_{\ell = 0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \left( A_{\ell m} r^{\ell} Y_{\ell m} + B_{\ell m} r^{-\ell-1} Y_{\ell m} \right) \tag{10}

と求まりました.それでは今日はこの辺で.お疲れさまでした.