ガウス積分の公式

物理を学んでいると，頻繁に出てくる積分というのがあります． その一つが ガウス積分 です．

ガウス積分

ガウス積分とは，つぎのような式で書かれる積分のことです．

I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \tag{1}

ここで x は実数， a は正の定数です．

ガウス積分の公式

ふつうガウス積分は，公式として扱われることが多いです． ガウス積分の公式はつぎのようなものです．

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{2}

ガウス積分の公式の証明

いくら公式だとはいっても，一度は本当にそうなることを確認しておきたいものです． この公式の証明は院試で頻出ですので，その道を目指す方は覚えておくと良いでしょう．

まず，左辺の積分値を I とします． I は被積分関数の関数形から，定義域が I > 0 であることがわかります． I は，

I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx

と書いても，

I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^2} dy

と書いても，積分値に変わりはありませんね．

したがって，

I^2 & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \right)^2 \\ & = \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx \right) \cdot \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a y^2} dy \right) \\ & = \int_{-\infty}^{\infty} dx \int_{-\infty}^{\infty} dy \ e^{- a (x^2 + y^2)} \tag{3}

と変形していくことができます．

ここで x = r \cos \theta ， y = r \sin \theta と変数変換をします．また，無限遠で積分領域を矩形から円形へと変形します．被積分関数が無限遠で速やかに0に収束することから，このようにしても積分値は変わりません．すると (3) 式は，

I^2 & = \int_0^{\infty} r dr \int_0^{2\pi} d\theta \ e^{-a r^2} \tag{4}

と書けます． \theta については積分を実行することができて，さらに式変形をしていくと

I^2 & = 2 \pi \int_0^{\infty} r dr \ e^{-a r^2} \\ & = 2 \pi \int_0^{\infty} d\left( \frac{r^2}{2} \right) \ e^{-a r^2} \\ & = \pi \left[ -\frac{1}{a} e^{-a t} \right]_{t = 0}^{t = \infty} \\ & = \frac{\pi}{a} \tag{5}

となります．ただし 2行目から 3行目で見やすいように，積分変数 r^2 を t に置換しています． I > 0 なので，正の値のみをとって

I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^2} dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \tag{6}

となり，ガウス積分の公式を得ることができました．